Equation différentielle avec coef variable de 1er ordre

[Aud39]

Bonjour,

dans un exemple sur un bouquin, on obtient à la résolution d'un contrôle optimal l'équation différentielle suivante :

où est la variable de co-état.

Ensuite il est indiqué qu'il est plus facile de résoudre l'équation en passant tous les termes " " à gauche et de multiplier par (déjà pas sûr que j'y aurais pensé...) :

.

J'ai repris mes cours et c'est à mon avis une équation différentielle avec coef variable de 1er ordre.
Donc du coup pour la résolution j'ai pris comme facteur d'intégration : .

Ensuite j'ai multiplié chaque membre de l'équation par :

,

j'intègre entre 0 et t de chaque côté :

,

et je ne prends la primitive que du terme de gauche en posant :

donc et donc comme ça donne presque mon terme de gauche sous l'intégrale ; effectivement il me manque juste le accolé au dans l'intégrale.

C'est donc là mon problème, où est-ce que je dois le réintégrer? Merci !

[arnaud32]

que penses tu de s(t) exp(-4t)? quelle equation differentiel verifie t elle?

[Aud39]

que penses tu de s(t) exp(-4t)? quelle equation differentiel verifie t elle?

Je ne comprends pas. Tu veux poser mon facteur d'intégration égal à s(t) exp(-4t)?

[arnaud32]

Je ne comprends pas. Tu veux poser mon facteur d'intégration égal à s(t) exp(-4t)?

poses u(t)=s(t) * exp(-4t)
et calcul sa derivee

[Aud39]

poses u(t)=s(t) * exp(-4t)
et calcul sa derivee

J'étais absente quelques temps mais je reviens sur cette diff car ce n'est toujours pas bon pour moi.

D'après ce que j'ai appris, il faut poser notre facteur d'intégration égal à quand on est en présence d'une équation différentielle de type .

Donc dans mon exemple, à mon avis correspond à donc j'ai posé mon facteur d'intégration égal à : .

Puis ensuite, toujours d'après mon cours, on doit multiplier chaque membre de l'équation différentielle par ce facteur d'intégration, ce qui donne :



Puis j'intègre entre 0 et t et j'obtiens :



Et je dois trouver la primitive du membre de gauche donc à mon avis j'ai le produit d'une dérivée ((uv)'=u'v+uv') donc c'est pour ça que je pose :

donc et donc .

Je ne vois donc pas comment je peux poser ?

Merci.

[arnaud32]

u(t)=s(t) * exp(-4t)
u'(t)=s'(t) * exp(-4t) + s(t) * (-4*exp(-4t)) = (s'(t) -4*s(t) )*exp(-4t) =-exp(4t)/pi(0)*exp(-4t)
=1/pi(0)

[arnaud32]

u(t)=s(t) * exp(-4t)
u'(t)=s'(t) * exp(-4t) + s(t) * (-4*exp(-4t)) = (s'(t) -4*s(t) )*exp(-4t) =-exp(4t)/pi(0)*exp(-4t)
=1/pi(0)

[Aud39]

u(t)=s(t) * exp(-4t)
u'(t)=s'(t) * exp(-4t) + s(t) * (-4*exp(-4t)) = (s'(t) -4*s(t) )*exp(-4t) =-exp(4t)/pi(0)*exp(-4t)
=1/pi(0)

Tant pis je ne comprends rien !
Je pensais que la solution à une équation différentielle était de la forme (ici) s(t) =... mais je ne comprends pas le mécanisme. Ce n'est pas la dérivée de s(t) exp(-4t) qui me pose problème à vrai dire. Je ne vois pas le lien avec mon équation différentielle de départ

[arnaud32]

t fais un changmeent de fonction
tu poses u(t)=s(t) * exp(-4t)
tu verifies que u() verifie u'(t)=-1/pi(0)
tu en deduis que u(t)=-1/pi(0)*t+K
et donc que s(t) = u(t) * exp(4t) = (-1/pi(0)*t+K)* exp(4t)

[Aud39]

t fais un changmeent de fonction
tu poses u(t)=s(t) * exp(-4t)
tu verifies que u() verifie u'(t)=-1/pi(0)
tu en deduis que u(t)=-1/pi(0)*t+K
et donc que s(t) = u(t) * exp(4t) = (-1/pi(0)*t+K)* exp(4t)

Ah oui c'est beaucoup plus clair. Et c'est toujours cette même "technique" qu'il faut appliquer? Merci encore.

[arnaud32]

y a pleind e techniques sur les equa diff qui permettent de 'simplifier' l'equation.
tu peux changer de fonction, changer de variable etc ...

[ampholyte]

Ah oui c'est beaucoup plus clair. Et c'est toujours cette même "technique" qu'il faut appliquer? Merci encore.

C'est très souvent l'habitude qui te permettra de choisir tel ou tel technique, tel ou tel changement de variable.

Tu ne pourras pas les inventer si tu ne les as pas vu au moins une fois.

[Aud39]

C'est très souvent l'habitude qui te permettra de choisir tel ou tel technique, tel ou tel changement de variable.


Tu ne pourras pas les inventer si tu ne les as pas vu au moins une fois.

Ok merci à vous, et bien je retiendrai au moins celle-ci !