Equation différentielle 1er ordre

[KanO]

Bonsoir,

Voilà, je me replonge dans les équa diff et je bloque à une étape :

y'+5y=exp(3t)

G(t) = 5t
solution général de l'équation homogène associée : y0(t) = k.exp(-5t)

solution particulière de la forme: y1(t) = (at+b)exp(3t)

y1'(x) = a.exp(3t)+3(at+b)exp(3t)

Ensuite je remplace dans l'équation de base, ce qui donne :

a.exp(3t)+3(at+b)exp(3t) + 5[(at+b)exp(3t)] = exp(3t)

Et là je bloque ...

Si quelqu'un aurai la gentillesse de m'aider, merci d'avance.

[Black Jack]

Bonsoir,

Voilà, je me replonge dans les équa diff et je bloque à une étape :

y'+5y=exp(3t)

G(t) = 5t
solution général de l'équation homogène associée : y0(t) = k.exp(-5t)

solution particulière de la forme: y1(t) = (at+b)exp(3t)

y1'(x) = a.exp(3t)+3(at+b)exp(3t)

Ensuite je remplace dans l'équation de base, ce qui donne :

a.exp(3t)+3(at+b)exp(3t) + 5[(at+b)exp(3t)] = exp(3t)

Et là je bloque ...

Si quelqu'un aurai la gentillesse de m'aider, merci d'avance.

La forme de le solution particulière que tu proposes est inutilement compliquée.

Essaie avec y1(t) = A.e^(3t)

:zen:

[KanO]

Merci,

Je tente et je vous redis ça !

[KanO]

Aie ... Je bloque un peu =(

Ca me donne /

y1'(t) = 3e^(3t) x A

Ensuite en remplaçant /

3e^(3t) x A + 5(A.e^(3t) ) = e^(3t)

Soit

A(5+3e^(3t)) + 5e^(3t) = e^(3t)


J'avoue que je suis pas très bon en maths =/

[KanO]

Dans le cas de votre solution particulière, trouverai-t-on A = 1/8 ?

[Black Jack]

Dans le cas de votre solution particulière, trouverai-t-on A = 1/8 ?

OUI

Donc une solution particulière est y1 = (1/8).e^(3t)

:zen:

[KanO]

Merci !

Donc finalement la solution finale serait de la forme

y(x) = (k+1/8)e^(3t) ?

[Billball]

ben je dirais plutot :

y(x) = y(0) + y1 ;)

[KanO]

En effet je me suis trompé

y(x) = k.e^(-5t) + 1/8.e^(3t)


Par contre, je n'ai pas compris comment Black Jack a fait pour me dire que ma solution particulière aurait plus la forme A.e^(3t) ...

Notre prof nous à expliqué que dans ce cas ( si f(x) = P(x).e^(rx) ) il fallait développer de la manière dont je l'ai fait dans mon premier post. J'ai pas tout suivi =)

[KanO]

Quelqu'un peut-il m'expliquer ?

[Black Jack]

Quelqu'un peut-il m'expliquer ?

Ce n'est que si la solution de l'équation homogène est de la même forme que le second membre de l'équation complète qu'il faut prendre y1(t) = (at+b)exp(3t)

Exemple dans un cas comme y'-3y=exp(3t)

Mais ce n'était pas le cas ici et on pouvait dès lors "simplifier" la forme de la solution particulière comme je l'ai fait.
*****

Néanmoins, si tu ne t'en rends pas compte, tu peux très bien partir de la solution y1(t) = (at+b)exp(3t) que tu avais proposée.

Tu arrives à : a.exp(3t)+3(at+b)exp(3t) + 5[(at+b)exp(3t)] = exp(3t)

Et tu continues ainsi :

a + 3(at+b) + 5(at+b)= 1

a + 3b + 5b + t(3a + 5a) = 1
(a + 8b) + 8a.t = 1

Et comme cela doit être vrai pour tout t du domaine d'existence (soit pour tout t de R)

On arrive au système:

a+8b = 1
8a = 0

système qui résolu donne a = 0 et b=1/8

Et te voila revenu à y1(t) = (at+b)exp(3t) = y1(t) = (0.t+ 1/8)exp(3t) = 1/8.exp(3t)

:zen:

[KanO]

Merci beaucoup pour la réponse,

c'est très claire, j'ai tout compris !
Ça fait plaisirs de voir des gens qui prennent le temps de bien expliquer les choses !

Bonne soirée à vous,

à bientôt !