Equation complexe

[Henry]

Bonjour,
Pourriez vous m'aidez à démarrer un exercice sur les complexes.
Je n'ai pas fait la question en entière car je voudrais tout d'abord savoir si c'est la bonne démarche et si oui est ce qu'il y aurait une autre démarche plus courte.
Merci d'avance

D= delta
app=appartient
rac(…)=racine de …
On considère l'équation comlexe z²-2pz+1=0 où p appartient à C. On note z1 et z2 les racines de cette équation, avec z1=z2 en cas de racine double.

1. Montrer que p est un réel ssi chaque racine de z²-2pz+1=0 est un réel non nul ou un complexe de module 1.

J’ai fait :
On suppose que p appartient à IR.
D=4p²-4=4(p²-1)=4(p-1)(p+1).

Tabeau de variation :

..........-oo....-1......1.......+oo
------------------------------------
4..............+........+.......+
(p+1).........-...0...+.......+
(p-1)......... -...... -...0...+
D...............+..0..-...0...+

1er cas : p app ] –oo ;-1[ U ]1 ;+oo[, D >0
2e cas : p=-1 ou p=1, D=0
3e cas : Si p app ]-1 ;1[, D0 avec p app ]1 ;+oo[
z1= (2p-rac(4(p²-1)))/2=p-rac(p²-1)

p>0
p²>1
p²-1>0
rac(p²-1)>0
-rac(p²-1)0 -p1
p²>1
p²-1>0
rac(p²-1)>0

d’où :
p>1
rac(p²-1)>0
------------------
p+rac(p²-1)>1

D’où z2>1

Donc z2 app IR*.

¤ D>0 avec p app ]-oo ;-1[…….(je n'ai pas continué pour les raisons indiquées en haut)
Merci encore

[LN1]

Ouh là là que tu fais compliqué!!!

l'équation x² - 2px + 1 = 0 possède toujours deux racines (éventuellement confondues, éventuellement complexes) jamais nulles car si tu remplaces x par 0 dans x² - 2px + 1 tu obtiens 1 et pas 0.

Tu n'as pas abordé la vraie difficulté de l'exercice :

si p est réel, il est facile de prouver que les racines sont
*ou bien réelles non nulles
* ou bien conjuguées l'une de l'autre. le produit des racines valant 1, le module de chaque racine vaut 1

Il faudra aussi faire la réciproque
*si les racines sont réelles non nulles alors p est réel
* si les racines sont complexes de module 1 alors p est réel
(ici sers toi à fond du fait que le produit des racines vaut c/a, c'est-à-dire 1 et que la somme des racines vaut -b/a c'est-à -dire 2p)

Bon courage