Module et conjugué d'un complexe... assez complexe

[entropik]

Bonsoir,
J'aimerais savoir quelle est la bonne procédure à suivre pour calculer le module et le conjugué du nombre complexe suivant:
Pourriez-vous m'indiquer s'il est correct de trouver comme module:
J'ai bien peur que cette expression ne puisse représenter un module. Mais il ne me paraît pas mieux de prendre ce qui devrait se trouver à la place du module dans l'exponentielle complexe "type" (je veux dire où est le module de ) ce qui, dans ce cas, reviendrait à prendre pour module de ().
Suffirait-il, alors, de multiplier par le conjugué de ? Dès lors il suffirait de prendre le module de qui est .
Pour le conjugué je trouve mais de nouveau j'ai de grands doutes quant à la justesse de cette expression...
Merci de m'éclairer

[fahr451]

une remarque : le symbole racine carré que j 'écris rac (x) est réservé

à x réel positif donc il ne peut y avoir de i sous ton radical.

[mathelot]

ce qui semble pratique c'est d'utiliser les propriétés de la conjugaison.



avec

et







bref, le passage au conjugué est un isomorphisme de corps et les calculs
sont agréables.

[entropik]

Merci pour les pistes, je cherche...

[Quidam]

Pourriez-vous m'indiquer s'il est correct de trouver comme module:

Non, le signe n'a pas de sens si le racidande est complexe...





Or . Tu peux donc calculer les modules des numérateur et dénominateur séparément.
Le module du numérateur est :

Le module du dénominateur est :

à toi de finir...

[mathelot]

Bonsoir,
J'aimerais savoir quelle est la bonne procédure à suivre pour calculer le module et le conjugué du nombre complexe suivant:
Merci de m'éclairer

je te commence le calcul:



et peut être pour le numérateur:

[entropik]

Mais je ne suis plus sûr: que se passe-t-il encore quand on multiplie 2 explonentielles complexes? Je crois me souvenir que les arguments s'additionnent mais que se passe-t-il avec les "modules" (le 2 et le i)? Sont-ils simplement multipliés?

[entropik]

donc j'obtiendrais ceci:
ce qui donne
mais que faire des termes du milieu? s'annuleraient-ils? Ainsi le module de z serait de ?

[mathelot]

il ya une erreur de signe: le terme -1 est en fait égal à
et une erreur de signe à un des termes médians.

de plus :



cette dernière formule permet de calculer la somme des termes médians qui vaut:



soit

[mathelot]

d'où:



PS: j'ai utilisé au message précedent

[entropik]

euh désolé mais je ne comprends pas bien, étant donné que , le 4è terme du numérateur correspond bien au produit donc cela vaut -1.1 non?
Et puis je ne vois pas bien quand il faut utiliser
De même je ne trouve pas l'erreur de signe à l'un des termes médian, s'il s'agit bien d'une simple addition d'arguments je ne vois pas où est l'erreur
Et donc le module du numérateur donné par Quidam n'est pas juste?
Merci pour votre patience

[entropik]

Voilà j'ai compris l'utilisation du . J'ai bien revérifié tous les signes et j'obtiens ceci:

Mais je ne vois pas comment calculer la somme des médians avec cette formule
Ni comment on passe de à
Merci d'avance pour d'autres éclaircissements

[mathelot]

J'ai bien revérifié tous les signes et j'obtiens ceci:

Dans l'égalité écrite, il y a trois erreurs:
1) une erreur de calcul: ce n'est pas 3=4-1 mais 5=4+1 car quand on développe le produit , on multiplie par son conjugué , et comme ces deux nombres complexes sont de module 1,on obtient et non pas -1.

2) deux autres erreurs dues à Latex:
ce n'est pas mais c'est
ce n'est pas mais c'est

Mais je ne vois pas comment calculer la somme des médians avec cette formule

les deux complexes

et

sont deux complexes conjugués de module 1.
on utilise alors la formule d'Euler:

Ni comment on passe de à

d'où:





moi aussi, j'ai fait des erreurs de calcul, dsl...

[Quidam]

Il me semble que tu n'as pas vu mon post ci-dessus...(23H03)
Je ne comprends pas pourquoi tu fais des calculs si compliqués !
Certes le module d'un nombre z est égal à . C'est effectivement très pratique dans certains calculs. Mais il ne faut pas oublier la définition de qui est et il me semble que c'est plus simple ici.
Dans le même ordre d'idées, est effectivement égal à , mais il me paraît plus simple d'écrire que d'écrire , ce qui force à traîner un bien importun ! Ci-dessous, le calcul complet :






Or . Tu peux donc calculer les modules des numérateur et dénominateur séparément.
Le module du numérateur est :

Le module du dénominateur est :






Sauf erreur...

[mathelot]

Je ne comprends pas pourquoi tu fais des calculs si compliqués !

ce sont tes calculs qui sont plus compliqués que les miens. t'es qui toi pour critiquer quelqu'un qui a travaillé plus de dix ans sur les nombres complexes ?

[Quidam]

ce sont tes calculs qui sont plus compliqués que les miens. t'es qui toi pour critiquer quelqu'un qui a travaillé plus de dix ans sur les nombres complexes ?

Ceci est un forum d'échanges ! Je ne critique pas, je propose d'autres solutions, c'est tout ! A présent, il faudrait demander à d'autres forumeurs de nous départager : qui donc a les calculs les plus compliqués ?

Moi, je ne suis qu'un misérable Quidam ! Et je ne peux pas deviner que toi tu es un expert qui a travaillé plus de dix ans sur les nombres complexes ! Fallait le dire que tu ne supportais pas qu'on donne un autre avis que le tien !

[Flodelarab]

Moi je plébiscite le post 14 qui est le calcul naturel qui vient tout de suite à l'esprit et qui résoud, sans prise de tete, le problème initial. Je suis pas objectif . J'aurais fait pareil :ptdr:

En parlant de calcul initial, je trouve la forme de z peu orthodoxe

[mathelot]

qui donc a les calculs les plus compliqués ?

c'est toi qui a les calculs les plus compliqués et la meilleure preuve, c'est que tes
calculs sont faux. Et tu critique quelqu'un qui a apporté le calcul le plus simple, un calcul qui tient en trois lignes et qui donne un résultat juste et différent du tien. Quidam, ce que je te conseille, c'est de lire mon calcul et de t'en inspirer
car les méthodes viennent du Rudin.
si la notation t'effraie, je n'y suis pour rien.

[Flodelarab]

c'est toi qui a les calculs les plus compliqués et la meilleure preuve, c'est que tes
calculs sont faux. Et tu critique quelqu'un qui a apporté le calcul le plus simple, un calcul qui tient en trois lignes et qui donne un résultat juste et différent du tien. Quidam, ce que je te conseille, c'est de lire mon calcul et de t'en inspirer
car les méthodes viennent du Rudin.

J'ai lu la solution de Quidam et je n'ai pas vu de faute.

Pourrais tu, Mathelot, Ô grand maitre des nombres complexes, nous dire où il a pêché ?

[entropik]

En parlant de calcul initial, je trouve la forme de z peu orthodoxe

Là-dessus on est bien d'accord... et dire que j'ai eu cette crasse pour mon examen partiel...
J'ai compris ce qui me troublais dans la méthode de mathelot: d'une part je pensais que le conjugué de était et pas mais c'est vrai que c'est plus logique vu le i. D'où l'erreur de signe.
Mais il y a encore autre chose qui me perturbe, comment voit-on ceci:

les deux complexes et
sont deux complexes conjugués de module 1.

Ne serais-ce pas 2 complexes de modules 2?
Enfin je n'ai pas vu la formule d'Euler au cours théorique, seulement celle de Moivre (allez savoir pourquoi), donc je ne pense pas que je devais utiliser cette méthode. Mais j'aime comprendre: je suis d'accord jusque là: , ensuite pour changer les signes des termes de l'angle du cosinus il me semble qu'il faut lui mettre un -.
Donc ça donne:
Ainsi on a (et je rapelle qu'il fallait aussi trouver le conjugué de z qui serait donc )

Concernant la version trigonométrique j'ai aussi 2 questions:
j'aimerais comprendre comment ça se fait que
Je savais déjà que donc pour changer le signe entre le cos et le sin, il suffit de changer tous les signes de l'angle mais lorsque qu'il faut changer le signe devant le cos et celui devant le sin, je ne savais pas qu'il fallait ne changer que le signe entre les 2 termes de l'angle. Enfin c'est vrai que c'est plutôt logique au final, on fait l'opération inverse. Mais s'il n'y avait pas 2 termes à l'angle que ferait-on?
Serait-il impossible de rendre positives les expression et ?
Aussi mon conjugué sous forme trigonométrique donnerait ou encore
L'énoncé précisant qu'il fallait laisser nos réponses sous forme trigonométrique, pensez-vous qu'il faille tenter de transformer le 3+i en une forme trigonométrique?
Enfin comment se fait-il que les versions exponentielle et trigonométrique n'aboutissent pas à la même solution? :hein: