Equation complexe

[mehdiox]

((x-sin(x)*cos(x))^3/sin(x))*3.261977574=1 une solution svp

[pascal16]

tu traces la courbe sous géogébra.

[mehdiox]

sans passer par géogebra g esseyer avec le dev limité de cos et sin mais trop lent et assez complique yaurait il une autre solution

[pascal16]

les équations mélangeant du x et du sin(x) ont rarement une solution x=... sauf quelques cas particuliers.
Il semble y avoir 2 solutions opposées vers 1.5 1.6, c'est donc un DL en pi/2 si sera le plus rapide à converger, pas simple en effet.
Sinon, fo passer par un logiciel de calcul formel qui me semble être au moins à l'ordre 12 pour avoir la précision demandée.

Pourquoi pas une simple recherche de zéro d'un fonction par la méthode de ton choix ?

[mehdiox]

enfaite j'ai fait une petite erreur g modifié léquation il yaurait une solution par méthode de tatonement mais je cherchai a la base une autre solution a tu utilisé geogebra pour trouver ces deux solutions?

[Ben314]

Salut,
Y'a un truc que je capte pas franchement :
En quoi le calcul du développement limité d'une fonction f au voisinage d'un point x0 a-t-il un quelconque rapport avec la résolution de l'équation f(x)=0 ?

[mehdiox]

On peut pas resoudre l'quation avec sin(x) et cos(x) et x comme inconnu le DL nous permet de remplacer les cos et sin par les valeur de x c pas trés précis mais sa reste juste au final on a un polynome qui est assez complexe a resoudre vue son degré

[pascal16]

Passer pas la résolution polynomiale avec un DL à l'ordre 12, est-ce simplement possible ?
Tu devras utiliser encore une solution approchée pour ton polynôme.

[mehdiox]

Passer pas la résolution polynomiale avec un DL à l'ordre 12, est-ce simplement possible ?
Tu devras utiliser encore une solution approchée pour ton polynôme.
pascal une solution aproché pour le polynome c'est a dire?

[Black Jack]

Etudier les variations de f(x) = (x-sin(x)*cos(x))³/sin(x)

Df = R-{k.Pi}

f est paire et on peut donc limiter l'étude à x > 0

et l'intéret s'arrète pour f(x) = 1/3,26... = 0,306...

comme sin(x).cos(x) = (1/2).sin(2x) --> compris dans [-1/2 ; 1/2]

(x +/- 1/2)³ = 0,306...

on peut limiter l'étude pour x dans ]0 ; 1,174...]

On peut montrer (pas immédiat) que f est croissante sur cet intervalle

et que lim(x--> 0+) f(x) < 0 et que f(1,174) > 1/3,261977574

Il y a alors une et une seule solution x1 sur R*+ telle que f(x) = 1/3,261977574 ... et bien entendu (à cause de la parité) il y a une deuxième solution sur R*, cette solution est -x1

On peut donc approcher avec la précision qu'on veut (mais pas la valeur exacte) la valeur de x1 par approximations successives (à l'intérieur de ]0 ; 1,174[), par exemple par une méthode dichotomique.

...

[Ben314]

On peut pas resoudre l'quation avec sin(x) et cos(x) et x comme inconnu le DL nous permet de remplacer les cos et sin par les valeur de x c pas trés précis mais sa reste juste au final on a un polynome qui est assez complexe a resoudre vue son degré

Ca, sur le principe, c'est "du grand n'importe quoi" : Un D.L., tout ce que ça donne, c'est une approximation locale qui, aussi bien, n'est "valable" (dans le sens "pas trop éloigné de la fonction") que dans un intervalle archi. super ridicule autour du xo où on a fait le D.L.
Là, tu as de la chance, ça marche car les D.L. de sinus et de cosinus sont en fait les premiers termes du développement en série entière qui a le bon gout d'avoir un rayon de convergence infini, donc ce sont de "bonnes approximations" y compris un peu loin du xo de base, mais ce n'est absolument pas le cas général de tout les D.L.

En plus, c'est d'une inutilité colossale vu qu'on est absolument pas plus avancé concernant la résolution d'une équation polynomiale de degré "un peu grand" que face à la résolution d'une équation contenant des fonctions transcendantes comme le sinus ou le cosinus : tu peut me dire quelle sont les méthodes que tu emploie pour approximer les zéros d'un polynôme de degré 10 et que tu ne pourrait pas employer directement sur une fonction contenant du sinus et du cosinus ?

[pascal16]

Passer pas la résolution polynomiale avec un DL à l'ordre 12, est-ce simplement possible ?
Tu devras utiliser encore une solution approchée pour ton polynôme.

Je précise :
pour arriver à la même précision que : 3.261977574, le DL d'un sinus étant en 1/n!, il faut n plus grand que 12 à la louche (je n'ai pas regardé les composées exactes).
De toute façon, tu auras à trouver les racines d'un polynôme de degré 12, il n'y a pas de méthode algébrique pour la résolution exacte d'un tel polynôme.
il faut donc encore passer par une méthode approchante.

Il y a des microprocesseurs simples qui n'ont pas de fonction cosinus intégrées, là oui, on passe par une approximation polynomiale (pas forcément un DL) pour calculer des valeurs.