Equation complexe

[houssamhoussni]

Bonjour,
On considère l equation d inconnue dans |C :
(jz+1)^8 =(jz-1)^8 où j=exp ( i2pi/3)
Comment montrer que les images de toutes les solutions de l équation dans le plan complexe sont sur la même droite?
Merci d avance

[aviateur]

Bonjour
Il y a plusieurs "méthodes"
1. Résoudre explicitement et vérifier que les 8 solutions sont sur la même droite (pas très marrant)
2. voir que z est solution ssi (jz+1)/(jz-1) est une racine 8 de 1. Cela implique z est sur l'image réciproque du cercle unité (noté U) par la transformation f: z-->(jz+1)/(jz-1)
z est donc sur l'image de U par la transformation inverse
Or l'image de U par est l'axe imaginaire (facile à vérifer), donc multiplier par 1/j (rotation) donne encore une droite .
Voilà en gros c'est ça.