Equation complexe...

[mirzof]

Bonjour,
j'ai du mal à résoudre l'équation complexe suivante et la question qui s'y rapporte

on considère dans C l'équation suivante :
(E) z²-2(cos(2t) +isin(2t))z-1=0 où t est compris entre -pi/2 et pi/2.
En notant z1 et z2 les solutions de l'équation (E), on pose u1=(z1+1)(cos(t)-isin(t)) et
u2=(z2+1)(cos(t)-isin(t)), montrer que u1 et u2 sont solutions de l'équation
(G) u²-4ucos(t)+2=0

Comment faut-il procéder pour la résoudre. doit-on expliciter les solutions z1 et z2 pour déterminer l'équation (G) ?
D'avance merci

[arnaud32]

calcule deja (u1)² et (u2)²

[Black Jack]

Comme Z1 est solution de (E), on a:
z1²-2(cos(2t) +isin(2t)).z1-1=0

Avec u1=(z1+1)(cos(t)-isin(t)), on a :
u1²-4u1.cos(t)+2
=(z1+1)².(cos(t)-isin(t))² - 4.(z1+1)(cos(t)-isin(t)).cos(t) + 2

On développe, simplifie ... et on arrive à

u1²-4u1.cos(t)+2
= cos(2t).(z1²-1) - i.sin(2t).(z1²-1) - 2z1

Mais on sait que z1² = 2(cos(2t) +i.sin(2t)).z1 + 1
soit (z1²-1) = 2(cos(2t) +i.sin(2t)).z1

--->

u1²-4u1.cos(t)+2
= cos(2t) * 2(cos(2t) +i.sin(2t)).z1 - i.sin(2t) * 2(cos(2t) +i.sin(2t)).z1 - 2z1
On développe et on simplifie, pour arriver à :
u1²-4u1.cos(t)+2 = 0

On a u1²-4u1.cos(t)+2 = 0 et donc u1=(z1+1)(cos(t)-isin(t)) est solution de (G)

Essaie ...
Et puis recommence avec u2 ...

:zen:

[mirzof]

ok un grand merci... au début le calcul me paraissait impressionnant mais en posant cos(2t)+isin(2t)=e(2it) et cos(t)-isin(t)=e(-it) puis en utilisant z1²=2ei(2t)z1+1 et en remplacant dans l'équation (G) on y arrive en quelques lignes :ptdr:
je me heurte maintenant à la deuxième question qui est de déterminer les valeurs de t pour lesquelles u1 et u2 sont réels... je peux écrire u1=(z1+1)(ei(-t)) et passer aux arguments mais je me retrouve avec 2 arguments : celui de z1 et t... Comment puis-je faire ?
merci à vous !

[Black Jack]

ok un grand merci... au début le calcul me paraissait impressionnant mais en posant cos(2t)+isin(2t)=e(2it) et cos(t)-isin(t)=e(-it) puis en utilisant z1²=2ei(2t)z1+1 et en remplacant dans l'équation (G) on y arrive en quelques lignes :ptdr:
je me heurte maintenant à la deuxième question qui est de déterminer les valeurs de t pour lesquelles u1 et u2 sont réels... je peux écrire u1=(z1+1)(ei(-t)) et passer aux arguments mais je me retrouve avec 2 arguments : celui de z1 et t... Comment puis-je faire ?
merci à vous !

u²-4ucos(t)+2=0

u = 2.cos(t) +/- V(4cos²(t)-2)

u1 et u2 sont réels si 4cos²(t)-2 >= 0 ...

:zen: