Équation cartésienne d'un plan avec trois points.

[novicemaths]

Bonsoir

Je souhaite trouver une équation d'un plan (p) avec trois points uniquement.

Voici trois les points , ,

On trouve deux vecteurs.





On cherche si un seul passe pars ces trois points.



Les vecteurs et ne sont pas colinéaires.

Pour trouver le vecteur normal, on doit calculer le produit de deux vecteurs directeurs.



On réalise l'équation cartésienne de (p)





Une équation de (p) est

Est-ce que mes calculs sont corrects ?

A bientôt

[Pisigma]

Bonjour,

revois un peu le calcul des coordonnées de

[catamat]

Bonjour

Pour moi le calcul est juste.

[Vassillia]

Bonjour,

Pour moi aussi, le produit vectoriel ne pose pas de problème en revanche on peut éventuellement reprocher une erreur de signe dans l'écriture du calcul du vecteur AB même s'il a bien fait une soustraction par la suite. De plus, l'égalité donne et non pas même si comme on trouve 0 au final ce n'est pas dramatique

De toute façon, en cas de doute, novicemaths, tu peux et je dirai même tu dois vérifier si les coordonnées de tous les points appartenant au plan vérifient bel et bien l'équation que tu proposes.

[novicemaths]

Je préfère vérifier catamat, vu que j'apprends sur le tas.

Je remets le calcul de avec plus de détails.



Où est mon erreur de signe Vassillia ?

Merci !!

A bientôt

[Vassillia]

La dernière ligne, c'est 2-1 qui donne 1 enfin je ne sais pas si le terme erreur de signe est adapté, il n'y a pas de signe du tout
Mais bon, tous les résultats sont corrects, c'est juste que je suis un peu psychorigide sur les étapes de calcul

[Pisigma]

@novicemath : au temps pour moi , j'avais pris un mauvais signe dans un vecteur; ton calcul était juste

[novicemaths]

Désolé Vassillia, sur ma feuille le signe - est posé, c'est une erreur de frappe.

Pour vérifier le plan, j'utilise le point A.



Est-ce que la vérification du plan est correct ?

A bientôt

[Sa Majesté]

Pour trouver le vecteur normal, on doit calculer le produit de deux vecteurs directeurs.

n'est pas "le" vecteur normal mais UN vecteur normal.
Tu peux simplifier par 3 puisque si est un vecteur normal alors est aussi un vecteur normal.

Sinon tu peux simplifier à la fin puisque équivaut à

Et comme l'a dit Vassilia, il est bon de vérifier que les coordonnées de A, B et C vérifient l'équation que tu trouves.

[Sa Majesté]

Pour vérifier le plan, j'utilise le point A.



Est-ce que la vérification du plan est correct ?

C'est correct mais ça ne suffit pas.
Là tu as juste vérifié que les coordonnées de A vérifient l'équation que tu trouves, et donc que le point A est sur le plan dont tu as trouvé une équation. Quant à savoir si ce plan est bien le plan (ABC), impossible de le dire avec certitude à ce stade.
Pour ça, il faut vérifier que B et C sont aussi sur ce plan.

[Vassillia]

Oui bien sur sauf que tu t'es servi du point A pour déterminer la valeur de d donc ce n'est pas vraiment étonnant.
Pour te rassurer, c'est plutôt les autres points qu'il faut vérifier.

Je comprends que tu doutes de toi, tu fais parfois des erreurs de calculs comme tout le monde mais enfin, il y a des choses que tu sais faire et pour lesquels il faut aussi apprendre à être sur de soi. Tu sais vérifier si un point appartient à un plan, pas besoin de nous demander, tout va bien.

[GaBuZoMeu]

Méthode bourrin :

[Black Jack]

Soit le plan d'équation x + ay + bz + c = 0 comprenant les points A, B et C.

On a donc le système :

1 + 2a + b + c = 0 (1)
2 + a + 2b + c = 0 (2)
1 - a + b + c = 0 (3)

(1)-(3) --> a = 0 (4)
(2)-(3) (compte tenu de (4) --> b = -1 (5)
(4) et (5) dans (1) --> c = 0

Une équation du plan est donc : x - z = 0

[GaBuZoMeu]

Avec le calcul de Black Jack, on croise les doigts pour que le plan ne soit pas parallèle à l'axe des x.
Heureusement que les trois points ne sont pas (2,1,1), (1,2,2), (-1,3,3).

[Black Jack]

Avec le calcul de Black Jack, on croise les doigts pour que le plan ne soit pas parallèle à l'axe des x.
Heureusement que les trois points ne sont pas (2,1,1), (1,2,2), (-1,3,3).

On ne croise pas les doigts, on le voit après 10 secondes de réflexion.

Sauf si on est tellement habitué à utiliser un canon pour tuer une mouche qu'on est incapable de raisonner sans l'utilisation d'outils sophistiqués ... même s'ils sont totalement inutiles dans l'exercice proposé.

Et si on n'est pas capable non plus de raisonner simplement, on peut toujours partir d'une équation de plan du type : ax + by + cz + d = 0

Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

Dans le privé, celui qui passe par Berlin pour aller de Paris à Versailles, se fait virer illico.

[GaBuZoMeu]

Je me suis livré à un jeu trop facile : faire partir Black Jack au quart de tour. Pas besoin de gratter fort pour faire ressortir son bon caractère.
Allez, bonne nuit !

[Black Jack]

Ben oui, je réagis aux conneries, avec certains, il y a de quoi faire.

[catamat]

Personnellement j'aime bien la méthode proposée par Gabuzomeu.

Après tout on est dans la rubrique supérieur donc cela fait du bien de voir une méthode différente de celles que l'on rabâche en lycée.

Toutefois j'aimerais quelques explications sur le déterminant de départ.
Je vois bien que l'on arrive (3ème déterminant) aux coordonnées des vecteurs , où M est un point quelconque du plan (ABC), ces 3 vecteurs étant colinéaires le déterminant est nul. OK

Au départ on a en ligne les coordonnées des points A,B,C et M sur les 3 premières colonnes la 4ème colonne ne comportant que des 1.

Ma question est donc la suivante, cette quatrième colonne est elle là juste pour avoir une matrice carrée qui va nous nous amener au déterminant (3,3) des vecteurs ou bien a t elle un sens mathématique ?
Je veux dire par là se place-t-on dans un espace affine de dimension 4 ??

[Black Jack]

Personnellement j'aime bien la méthode proposée par Gabuzomeu.

Après tout on est dans la rubrique supérieur donc cela fait du bien de voir une méthode différente de celles que l'on rabâche en lycée.

Toutefois j'aimerais quelques explications sur le déterminant de départ.
Je vois bien que l'on arrive (3ème déterminant) aux coordonnées des vecteurs , où M est un point quelconque du plan (ABC), ces 3 vecteurs étant colinéaires le déterminant est nul. OK

Au départ on a en ligne les coordonnées des points A,B,C et M sur les 3 premières colonnes la 4ème colonne ne comportant que des 1.

Ma question est donc la suivante, cette quatrième colonne est elle là juste pour avoir une matrice carrée qui va nous nous amener au déterminant (3,3) des vecteurs ou bien a t elle un sens mathématique ?
Je veux dire par là se place-t-on dans un espace affine de dimension 4 ??

Quand on a un trou à faire dans la terre ... on peut le faire avec une petite cuillère, avec une bèche, avec une pioche et une pelle, avec une pelleteuse, une excavatrice ...

Si on utilise une excavatrice pour faire un trou nécessaire à planter des carottes ... on est tout à fait à la masse.

Mais si c'est cela que tu veux, vas-y, fonce.

Et si la méthode rabâchée au secondaire doit être négligée parce que on est en "supérieur" ... même si celle du secondaire est plus efficace dans le cas particulier posé, alors ... bonne chance pour tes emplois futurs.

[Vassillia]

Bonjour, il faut arrêter de dire n'importe quoi Black Jack. Si on réfléchit 10sec, au vu de cet énoncé particulier, l'équation est évidente donc aucun calcul à faire.

Pour un énoncé général, on ne peut pas se permettre d'imposer a=1 pour la raison évoquée précédemment donc il faut utiliser ax+by+cz+d=0, ne pas le signaler risque d'envoyer novicemaths (ou d'autres étudiants) dans le mur.

Et enfin, le calcul d'un déterminant d'une matrice carré de dimension 4 n'est ni plus long ni plus technique que résoudre un système de 3 équations avec 4 inconnues même si la justification nécessite effectivement plus de connaissances.