Equation avec arctan

[Lolo03]

Bonjour,

J'ai besoin de resoudre une equation de la forme : arctan(a.x) = b.x ( a et b étant des réels strictement positifs).

Quelqu'un pourrait-il m'aider ? (j'ai essayé d'utiliser des formules trigo pour supprimer le arctan mais sans succès)

Merci d'avance

Lolo03

[alben]

Bonsoir,

Cette équation ne peut pas être résolue autrement que par des méthodes numériques.
En revanche, on peut montrer que la solution est unique sur un intervalle donné.

[Mike_51]

arctan(ax)=bx => a/(1+(ax)²)=b => x²=(a-b)/ba² => x=..
Réciproquement tu montre que les solutions obtenues conviennent.
Ca marche?

[Tqup3]

J'y ai pensé à la dérivée mais je n'es pas osé le mettre sur le forum car je n'étais pas persuadé de la justesse de cette démonstration...

[Lolo03]

Je ne pense pas que cette solution fonctionne car (a-b)<0 pour les valeurs numériques de mon problème... De plus, ma calculette me donne des résultats corrects quand a

[Amine.MASS]

arctan(ax)=bx => a/(1+(ax)²)=b => x²=(a-b)/ba² => x=..
Réciproquement tu montre que les solutions obtenues conviennent.
Ca marche?

bonsoir,
tu ne peux pas dériver car tu cherches les solutions de cette equation
c_a_d tu cherches s'il existe des points ou arctan(ax)-bx s'annule (et non que arctan(ax)-bx =0 sur un intervale)
sinon cette equation n'admet que des valeurs approché par l'étude de la fonction et en utilisant le principe de dechotomie
cordialement,Amine

[boulay59]

C'est "très faux" comme méthode parce que sinon, ça se saurait (!!) (et on se ferait pas chier à faire une théorie sur les racines des polynômes : il suffirait de dériver n fois et on obtiendrait le résultat !!)

Exemple : x²=1 ==> 2x=0 donc 0 serait la seule valeur possible en suivant ton raisonnement !! Réciproquement, ça ne marche pas donc l'équation x²=1 n'admet pas de solution !

[alben]

Re bonsoir,

la première chose à faiire est de regrouper tes constantes en posant u=ax ton équation devient alors :pour u non nul.

La fonction arctan est définie sur R, son image est -pi/2 +pi/2. Mais la fonction arctan(u)/u donne des valeurs comprises entre 0 et 1 et elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Cela signifie :
- si b a; il y a deux solution de même valeur absolue et de signe contraire.
En se limitant aux valeur de x positives, la méthode la plus rapide est celle de newton.
Tu peux aussi attaquer l'équation tan(z) / z = a/b en posant z = bx mais son domaine de définition n'est pas le même

[Daragon geoffrey]

slt
si ça peut aider pour une vérification, on pose en effet f(x)=arctan(ax)-bx dérivable sur R donc continue et de dérivée f'=(a-b(ax)^2/(1+(ax)^2) !
donc f' est du signe de 1-abx^2 polynome degré 2 en x qui admet 2 racines évidentes, a et b étant positifs, x1=1/rac(ab) et x2=-1/rac(ab) ! donc par définition f' est positive sur [-1/rac(ab);1/rac(ab)] et négative ailleurs ! tu calcules les images des 2 racines de f' par f pour trouver le signe de f et enfin les limites de f en + et - oo, celles da arctan étant de limites usuelles ! puis tu utilises le th des valeurs intermédiaires (ou la dichotomie) pour prouver que f admet un certain nombre de racines et en trouver une valeur approchée ! @ +

[yos]

J'en rajoute une couche pour M51: on peut trés bien avoir f(x)=g(x) (les courbes de f et g se coupent au point d'abscisse x) sans avoir f'(x)=g'(x) (qui exige en plus même tangente au point d'abscisse x).
Je confirme : point de salut en dehors des méthodes numériques pour cette équation.

[Lolo03]

Merci bien à tous pour votre aide... La méthode de Newton marche très bien et me suffit largement pour résoudre mon problème... :we:

[aviateurpilot]

si on vois les deux fonction f(x)=arctg(ax) et g(x)=bx "graphiquement"
on remarque que f(0)=g(0)
donc si f'(0) aou aura f(x)et f(x)>g(x) sur R-
et la solution dans ce cas S={0}
si f'(0)>g'(0) <=> a>b
alors ils existents 3 solutions S={m,-m,0} avec m>0
si m est une solution -m et aussi une solution car les 2 fonction sont impaire
et on cherche une approximation de m

[alben]

Bonjour,
Oui, tu as raison, aviateurpilot, je m'étais embrouillé dans mon message n°8 : omission de la racine triviale x=0 et inversion de a et b dans les inégalités.