Equation avec des Arctan

[Yozamu]

Bonjour à tous.
Il y a une équation que je n'arrive pas à résoudre avec des Arctan...

Celle-ci:
Arctan(1/(x-2))+Arctan(1/(x+3))=pi/2

D'habitude, j'applique la fonction tan de chaque coté de l'équation, pour appliquer la formule tan(a+b)=(tan a + tan b)/(1- tan a.tan b)

Mais là je ne peux pas l'appliquer, parce qu'a droite j'obtiendrais tan pi/2, ce qui est impossible...
Donc après réflexion, j'ai essayé de le décomposer et de faire ça:
Arctan(1/(x-2))+Arctan(1/(x+3))-pi/4=pi/4
(d'ailleurs je viens de me rendre compte que j'ai pas fait -pi/4 mais +pi/4 dans le membre de gauche)

Mais du coup j'obtiens un truc du style 0=0, ou x=0, et je sais que le résultat est dans ]2;+inf[, je crois que c'est 5.43 un truc du genre, mais impossible de le retrouver.

Merci d'avance!

[Luc]

Salut,

La forme indéterminée est gênante, mais je crois qu'il y a moyen de s'en sortir:
- Méthode 1, utiliser arctan(x)+arctan(1/x)=pi/2.
- Méthode 2, faire un développement limité (ou plutôt, asymptotique) et identifier les coefficients.

[Yozamu]

Salut Luc,

A propos de la deuxième méthode, je vois pas du tout de quoi tu parles(j'ai un bas niveau en maths)
quant à la première, tu veux donc dire que je devrais remplacer le terme de droite (pi/2) par l'expression contenant des arctan ?

[Luc]

Remarque déjà que 1/(x-2) et 1/(x+3) doivent être positifs, car sinon on aurait une arctangente supérieure à pi/2, ce qui est impossible.
Ensuite, en passant un des arctan de l'autre côté, on obtient:
Arctan(1/(x-2))=pi/2-Arctan(1/(x+3))=arctan(1/(1/x+3))=arctan(x+3)
Donc 1/(x-2)=x+3, donc x=...
Il faut bien vérifier à ne retenir que les solutions telles que x>-3 et x>2.

[Yozamu]

... Ce n'est que le deuxième exercice que je fais sur les tangente et arctangentes, donc j'ai vraiment du mal, particulièrement à comprendre ceci:

Arctan(1/(x-2))=pi/2-Arctan(1/(x+3))=arctan(1/(1/x+3))=arctan(x+3)

[Luc]

J'ai utilisé la formule arctan(x+3)+arctan(1/(x+3))=pi/2.

[Yozamu]

D'accord, merci, j'arrive jusqu'à l'équation 1/(x-2)=x+3
Mais... Je suis bloqué ici..
Parce que j'ai essayé de résoudre et je tombe sur x^2+x-7=0
Donc je fais delta, je trouve 29
et quand je fais les racines, j'en trouve une négative donc éliminable, et l'autre est 3.19 ou (1+rac(29))/2 mais je suis censé trouver environ 2.2 comme solution il me semble donc je ne sais pas où est mon erreur..

[Luc]

Pourquoi es-tu censé trouver 2,2 comme solution approchée?

[Yozamu]

Je sais pas...
En regardant l'équation, c'est bien f(x)=pi/2, donc je regarde graphiquement a y=pi/2 y'a qu'une valeur de x qui correspond et c'est a peu près 2.2

[Pythales]

Avec les précautions d'usage, tu peux trés bien prendre la tangente des 2 membres et appliquer
Ici ça te donne soit dont la solution positive est

[Luc]

Avec les précautions d'usage, tu peux trés bien prendre la tangente des 2 membres et appliquer
Ici ça te donne soit dont la solution positive est

Merci, j'avais pas vu l'erreur de calcul!

[Yozamu]

Oh non je rêve, je galérais à cause... D'une erreur complètement idiote...
J'ai fait b+rac(delta) au lieu de -b+rac(delta)...
J'ai honte! :ptdr:

Merci à vous deux pour l'aide que vous m'avez apporté!