[MPSI] equa diff

[Anonyme]

Salut à tous,

J'ai une équation différentielle assez coton que j'arrive pas à résoudre...

(E) : x² y(x) + 4x y'(x) + 2y(x) = 2 / (1+x²)²
Je note (Eh) l'équation homogène associée, que j'ai résolu, je trouve
Sh = {K / x + L / x² / K et L rééls}

Bon je dois résoudre (E) par la "méthode de variation des constantes", càd
trouver une solution particulière de la forme : a(x)*x^-1 + b(x)*x^-2
avec a'(x)*x^-1 + b'(x)*x^-2 = 0

Je pose mon calcul, j'arrive à ce système :

| -a'(x)*x^-2 -2*b'(x)x^-3 = 2 / (1+x²)²
| a'(x)*x^-1 + b'(x)*x^-2 = 0

En bidouillant un peu j'arrive à :
| a'(x) * (-2x^-4 + x^-5) = - [2 / (1+x²)²] * x^-2
| b'(x) * (-2x^-4 + x^-5) = [2 / (1+x²)²] * x^-1

Soit a'(x) = quelquechose d'horrible
b'(x) aussi.

Dans l'énoncé on me donne comme indication : On observera que d(Arctan(x) +
x/(1+x²)²) /dx = 2 / (1+x²)²...

Ca doit bien servir qque part, mais où ??

Merci !

[Anonyme]

Dans le message :3f92ac5d$0$2774$626a54ce@news.free.fr,
VS a écrit :
> Salut à tous,
>
> J'ai une équation différentielle assez coton que j'arrive pas à
> résoudre...
>
> (E) : x² y(x) + 4x y'(x) + 2y(x) = 2 / (1+x²)²
> Je note (Eh) l'équation homogène associée, que j'ai résolu, je trouve
> Sh = {K / x + L / x² / K et L rééls}
>
> Bon je dois résoudre (E) par la "méthode de variation des
> constantes", càd trouver une solution particulière de la forme :
> a(x)*x^-1 + b(x)*x^-2
> avec a'(x)*x^-1 + b'(x)*x^-2 = 0
>
> Je pose mon calcul, j'arrive à ce système :
>[color=green]
>> -a'(x)*x^-2 -2*b'(x)x^-3 = 2 / (1+x²)²
>> a'(x)*x^-1 + b'(x)*x^-2 = 0
>
> En bidouillant un peu j'arrive à :
>> a'(x) * (-2x^-4 + x^-5) = - [2 / (1+x²)²] * x^-2
>> b'(x) * (-2x^-4 + x^-5) = [2 / (1+x²)²] * x^-1
>
> Soit a'(x) = quelquechose d'horrible
> b'(x) aussi.
>
> Dans l'énoncé on me donne comme indication : On observera que
> d(Arctan(x) + x/(1+x²)²) /dx = 2 / (1+x²)²...
>
> Ca doit bien servir qque part, mais où ??
>
> Merci ![/color]

Bonjour
Tu n'as besoin que d'*une* solution particulière
(la solution complète sera K/x + L/x² + P(x) ).
Si tu la cherches sous la forme P(x)=z(x)/x, tu obtiens :
xz" + 3z' = 2 / (1+x²)²
soit (xz'+2z)' = 2 / (1+x²)²
Et c'est là que "l'indication" peut être utile...

--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

Le seul ennui étant que ca suit pas vraiment la méthode de variation des
constantes mais ca devrait passer ^^

J'y aurais pensé si il n'y avait pas ce "en utilisant la méthode..."...

Merci !

Hop une autre question... Plus "terre à terre". J'ai S = { a*exp(x)/x +
b*exp(-x)/x } Je dois trouver la valeur de a et b pour que tout ca tende
vers 1 en 0... J'aurais bien posé a = x / 2 et idem pour b mais
naturellement a et b sont des constantes.

Ca doit être bête mais ca m'échappe...

[Anonyme]

> soit (xz'+2z)' = 2 / (1+x²)²

Tu voulais dire (xz' + z)' = 2 / (1+x²)²

[Anonyme]

Dans le message :3f92be88$0$226$626a54ce@news.free.fr,
VS a écrit :[color=green]
>> soit (xz'+2z)' = 2 / (1+x²)²
>
> Tu voulais dire (xz' + z)' = 2 / (1+x²)²
> [/color]

Tu as raison
--
Cordialement
Bruno