[MPSI] Changement de variable - equa diff

[Anonyme]

Bonjour,
On peut écrire pour tout naturel n cos(nx)=P_n(cosx)
où P_n est un polynôme de degré n, unique.

Si on pose f_n(x)=cos(nx), f_n est solution de l'équation différentielle :
(E) d²y/dx² + n²y = 0

L'énoncé demande de trouver une autre équation (E') avec le changement de
variable X=cosx. Et de vérifier ensuite que P_n est solution de (E'),
pour enfin trouver les coefficients de P_n.


J'ai fait f_n(x)=P_n(X) donc d²f_n/dx² = d²P_n/dx²

dPn/dx = (dX/dx)(dPn/dX)
d²Pn/dx² = (d²X/dx²)(dPn/dX) + (dX/dx)²(d²Pn/dX²)

En remplaçant avec les dérivées de cos, j'ai donc (E') qui est :
(1-X²)(d²Pn/dX²) - X(dPn/dX) + n²Pn = 0


Est-ce la bonne façon de faire ?
J'ai l'impression de m'être trompé car ensuite, les calculs des
coefficients sont horribles. :-)
Il faut aussi que je justifie que P_n est solution, donc c'est sûr il y a
une erreur.


Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel a écrit dans le message ...
>Bonjour,
>On peut écrire pour tout naturel n cos(nx)=P_n(cosx)
>où P_n est un polynôme de degré n, unique.
>
>Si on pose f_n(x)=cos(nx), f_n est solution de l'équation différentielle :
>(E) d²y/dx² + n²y = 0
>
>L'énoncé demande de trouver une autre équation (E') avec le changement de
>variable X=cosx. Et de vérifier ensuite que P_n est solution de (E'),
>pour enfin trouver les coefficients de P_n.
>
>
>J'ai fait f_n(x)=P_n(X) donc d²f_n/dx² = d²P_n/dx²
>
c'est la ou tu fait une erreur

cos(nx)+i sin(nx) = e^i(nx) = ( cos x + sin x)^n

Utilise les formules de Moivre ( que j'ai oublié)

et ensuite tu remplace cos(x) par X

[Anonyme]

Alex écrivait :

> c'est la ou tu fait une erreur
> [...]
> et ensuite tu remplace cos(x) par X

Non en fait, j'ai vérifié
J'ai tout bon

--
Michel [overdose@alussinan.org]