Ensembles

[FunkyAnts]

Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour résoudre un exo :

Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et p, et S l'ensemble des applications de E dans F.

I) On note E = {,..., } et on définit :S par (f)=(f( ),...,f( )).
Montrer que est une bijection et en déduire que card(S)= .


Moi:

Il faut montrer que est injective et surjective, etant une application parmi l'ensemble des applications S de E dans F, c'est ça ?
Je vois bien comment faire avec une fonction du type h(x)=3x+5 par exemple, mais là je ne sais pas comment démontrer.

Vous pouvez m'aider svp.

[adrien69]

Salut,

En fait
où

Donc pour faire simple, tu numérotes les éléments de E, et tu définis ta fonction comme étant celle qui à une certaine fonction f allant de E dans F associe le n-uplet formé des images des éléments de E par f.

Quand tu écris f(x)=blabla habituellement, tu définis la fonction f par une opération algébrique : +,-,x,etc.
Mais ça revient à désigner un élément de R comme image de x. Et c'est ce qu'on fait là.
Par exemple, quand tu as une suite , il ne s'agit ni plus ni moins que d'une fonction qui à tout élément de N associe "quelque chose", par exemple un réel, via une formule, une récurrence, ou en les "désignant".

Revenons au problème.

Tu dois montrer que

Comment tu fais ça ? Eh bien une fonction est caractérisée par l'image des points de son ensemble de départ.

Par exemple si on travaillait dans R, tu dirais que f=g si et seulement si tu avais pour tout x dans R f(x)=g(x).
Eh bien ici c'est pareil, sauf que tu n'as que n éléments dans E.

[FunkyAnts]

Merci adrien, c'est sympa de m'expliquer.

Je dois marquer : Soit caractérisée par f = (f(),...,f( )) est une appli de E = {,..., } dans
Alors f() = f() =

Donc bijective ?

J'ai du mal dans la rédaction. :hein:

[Frede]

Si ton prof aime les réponses courtes, tu peux lui dire:

Pour créer une application de E dans F, je pars du premier élément de E, il peut aboutir sur n'importe quel élément de F, donc il a le choix entre p positions. Idem pour le second. Donc si E n'a que 2 éléments le nombre d'applications sera p au carré. Comme E a n éléménts, le nombre d'applications est bien p à la puissance n.

[adrien69]

Ah non, tu n'as pas compris du tout. Bon je vais mieux l'écrire, même si c'est horriblement chiant :



où

est donc une application qui va de "l'ensemble des fonctions de E dans F" vers

[adrien69]

Donc maintenant tu regardes l'injectivité de



Et là si tu as bien lu mon baratin d'il y a deux jours, tu sais conclure proprement pour l'injectivité.

[FunkyAnts]

Merci pour votre aide Frede et adrien69. :++:

Les ensembles c'est tout nouveau pour moi et ça a du mal à rentrer. :marteau: