Ensembles ouverts ??

[ikram55]

Comment puis-je déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts ???

A = {(x,y)€R2 | 0 < |x-1| < 1}

B = {(x,y)€R2 | 0< x=< 1}

C = {(x,y)€R2 | |x| < 1 ; |y| =< 1}

D = {(x,y)€R2 | x€Q, y€Q }

E = {(x,y)€R2 | x2 + y2 < 4 }

Merci d'avance.

[Sylviel]

Intuitivement : un ensemble ne sera généralement pas ouvert s'il est défini avec une inégalité large.

Plusieurs possibilités pour montrer qu'un ensemble est ouvert :
- montrer que le complémentaire est fermé par la définition séquentielle : prendre une suite convergente d'éléments du complémentaire et montrer que sa limite est dans le complémentaire.
- prendre un point de l'ensemble et trouver une boule ouverte centré en ce point à l'intérieur de l'ensemble

Pour montrer qu'un ensemble n'est pas ouvert le plus simple est généralement de prendre le complémentaire et de montrer qu'il n'est pas fermé. Pour cela prendre une suite du complémentaire qui converge vers un point de l'ensemble de départ.

[ikram55]

Intuitivement : un ensemble ne sera généralement pas ouvert s'il est défini avec une inégalité large.

Plusieurs possibilités pour montrer qu'un ensemble est ouvert :
- montrer que le complémentaire est fermé par la définition séquentielle : prendre une suite convergente d'éléments du complémentaire et montrer que sa limite est dans le complémentaire.
- prendre un point de l'ensemble et trouver une boule ouverte centré en ce point à l'intérieur de l'ensemble

Pour montrer qu'un ensemble n'est pas ouvert le plus simple est généralement de prendre le complémentaire et de montrer qu'il n'est pas fermé. Pour cela prendre une suite du complémentaire qui converge vers un point de l'ensemble de départ.

Merci beaucoup