Pour ton 1), clairement, NON, ce n'est pas "juste un entrainement", mais un "vrai théorème" assez compliqué à démontrer. A mon sens, on peut affirmer que "c'est totalement évident" (et donc se passer de preuve...) dans le cas d'ensembles
finis mais il faut bien comprendre que les ensembles infinis ne sont pas régis par la même "simplicité" que les ensembles finis. Par exemple, si on suppose qu'il existe une surjection de M dans N et une surjection de N dans M, alors il n'est pas évident qu'il existe une bijection de M dans N (en fait on a besoin d'une "grosse" hypothèse théorique pour que ce soit vrai)
Pour ton 2), je comprend pas bien : dans les questions 1) et 2) de l'exo, on évalue des images directes pour la fonction f de parties qui sont bien des parties de M (à savoir les Ai) donc il n'y a aucun problème...
(surtout, je ne comprend pas la fin de ta phrase "...des parties de f" : c'est quoi "des parties d'une fonction" ?)
Pour ton 3) il y a (au moins) deux choses qui, j'ai l'impression ne sont pas claires dans ton esprit :
i) Quand un parle d'une "famille" d'éléments de A indexé par I, ben c'est juste une façon un peu différente de parler d'une fonction de I dans A où l'image de i par la fonction est notée
à la place du
)
habituel. Il faut bien comprendre qu'il n'est nulle part dit (ou sous entendu) que la fonction doit être injective, donc, par exemple, (a,b,a,a,a,b,c,a,b,a,a,b,a,a,a,b,c,a,a,a) est une famille de 20 éléments de l'ensemble {a,b,c}
ii) Dans l'exercice, par exemple la "famille"
_{i\in I})
n'est pas une famille d'
éléments de M, mais une famille de
parties de M (ce qui explique que l'on peut prendre par exemple l'intersection des Ai, ce qui n'aurait aucun sens si les Ai étaient des éléments de M.
Concernant ton "Aussi je ne vois pas lintérêt dindexé des éléments de A par des éléments de I quand ces derniers ne sont pas des entiers a part compliquer lécriture", ben si, ça a un intérêt, c'est que, par exemple l'ensemble de tout les réels est "trop gros" pour que l'on puisse tous (i.e. avec une application surjective) les "indexer" à l'aide des entiers donc, lorsque l'on démontre qu'une propriété est vraie pour toute famille
de parties de M (sous entendu avec I un ensemble d'indices
quelconque) et bien c'est beaucoup plus fort que d'avoir uniquement montré que c'est vrai pour toute famille
_{n\in {\bb N}})
.
Par exemple, il existe (dans la "théorie de la mesure" et, dans une moindre mesure en "topologie") beaucoup de propriétés qui sont vraies pour des familles indexées sur N, mais qui sont fausses pour des familles indexées sur des ensembles I "plus gros" que N....
Edit : grillé par Nightmare (deux fois) mais faut dire que j'ai détaillé...
