Liberté d'une famille de fonctions (mpsi)

[Anonyme]

Bonjour,

voici un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre.

Soit r > 0, r n'est pas un entier pair.

On note f_a : R -> R
: x -> |x-a|^r

Il faut montrer que la famille des (f_a), a dans R, est libre dans
l'ensemble des fonctions de R dans R.

J'aimerais savoir si l'hypothèse : "r n'est pas dans 2N" est vraiment
utile, car je ne vois pas du tout ce qu'elle induit.
Par ailleurs je veux bien un petit coup de main pour cet exo. J'ai vu
que si on nomme l_i (1 =< i =< n) les coefficiants de f_ai pour une
famille de cardinal n, alors la somme des l_i devait être nulle, j'ai du
mal à faire plus d'intéressant (évaluer cette somme en les a_i ?),
sachant que nous n'avons pas encore vu les matrices.


Merci d'avance pour votre aide

--
albert

[Anonyme]

albert junior a écrit :
> Bonjour,
>
> voici un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre.
>
> Soit r > 0, r n'est pas un entier pair.
>
> On note f_a : R -> R
> : x -> |x-a|^r
>
> Il faut montrer que la famille des (f_a), a dans R, est libre dans
> l'ensemble des fonctions de R dans R.
>
> J'aimerais savoir si l'hypothèse : "r n'est pas dans 2N" est vraiment
> utile, car je ne vois pas du tout ce qu'elle induit.

Le résultat me parait faux si r=2*N
En effet, dans ce cas, la famille des fonctions considérée est la
famille des polynomes (x-a)^(2N) qui n'est certainement pas libre...

[Anonyme]

albert junior a écrit :
> Bonjour,
>
> voici un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre.
>
> Soit r > 0, r n'est pas un entier pair.
>
> On note f_a : R -> R
> : x -> |x-a|^r
>
> Il faut montrer que la famille des (f_a), a dans R, est libre dans
> l'ensemble des fonctions de R dans R.
>
> J'aimerais savoir si l'hypothèse : "r n'est pas dans 2N" est vraiment
> utile, car je ne vois pas du tout ce qu'elle induit.
> Par ailleurs je veux bien un petit coup de main pour cet exo. J'ai vu
> que si on nomme l_i (1 = famille de cardinal n, alors la somme des l_i devait être nulle, j'ai du
> mal à faire plus d'intéressant (évaluer cette somme en les a_i ?),
> sachant que nous n'avons pas encore vu les matrices.
>
>
> Merci d'avance pour votre aide
>
Si r est un entier pair, alors toutes les fonctions x->|x-a|^r sont
polynômiales de degré r, donc r+2 d'entre elles sont liées

Dans le cas contraire, pour montrer que la famille (f_a) est libre, on
peut utiliser le fait que si n est un entier >r, alors f_a n'est pas n
fois dérivable en 0 mais est C^infini ailleurs

[Anonyme]

FDH wrote:

> Si r est un entier pair, alors toutes les fonctions x->|x-a|^r sont
> polynômiales de degré r, donc r+2 d'entre elles sont liées

ok, en effet

> Dans le cas contraire, pour montrer que la famille (f_a) est libre, on
> peut utiliser le fait que si n est un entier >r, alors f_a n'est pas n
> fois dérivable en 0 mais est C^infini ailleurs

Oui !
Très court comme solution, merci ! (et également à Nougy)

--
albert

[Anonyme]

>> Si r est un entier pair, alors toutes les fonctions x->|x-a|^r sont[color=green]
>> polynômiales de degré r, donc r+2 d'entre elles sont liées
>
> ok, en effet
>
>> Dans le cas contraire, pour montrer que la famille (f_a) est libre, on
>> peut utiliser le fait que si n est un entier >r, alors f_a n'est pas n
>> fois dérivable en 0 mais est C^infini ailleurs
>
> Oui !
> Très court comme solution, merci ! (et également à Nougy)[/color]

J'en profite pour faire remarquer que ces histoires de
dérivabilité/dérivation sont souvent très utiles pour montrer qu'une famille
de fonctions est libre.
A titre d'exercice, réfléchis à la liberté de la famille des exp(ax) (a dans
R), sin(ax) (a dans R), etc.
On peut aussi souvent s'en sortir avec des arguments de limites ou pôles,
par exemple pour la famille des fractions rationnelles 1/(X-a) et
consorts...

--
Mû

[Anonyme]

µ wrote:

> J'en profite pour faire remarquer que ces histoires de
> dérivabilité/dérivation sont souvent très utiles pour montrer qu'une famille
> de fonctions est libre.

J'ai l'impression

> A titre d'exercice, réfléchis à la liberté de la famille des exp(ax) (a dans
> R), sin(ax) (a dans R), etc.
> On peut aussi souvent s'en sortir avec des arguments de limites ou pôles,
> par exemple pour la famille des fractions rationnelles 1/(X-a) et
> consorts...

Pour l'exponentielle, je suppose que la famille des exp(ax) est liée, je
prends une sous famille libre de cardinal maximal (existe), c'est une
base, donc tout vecteur x s'écrit de façon unique sommes des l_i *
exp(a_i * x). En dérivant on obtient x : somme des l_i * a_i * exp(a_i *
x) donc pour tout i a_i = 1 ce qui est contradictoire.
Pour les sinus ... pareil (en dérivant deux fois)
C'est ca où tu pensais à plus court ?

--
albert

[Anonyme]

>> J'en profite pour faire remarquer que ces histoires de[color=green]
>> dérivabilité/dérivation sont souvent très utiles pour montrer qu'une
>> famille de fonctions est libre.
>
> J'ai l'impression
>
>> A titre d'exercice, réfléchis à la liberté de la famille des exp(ax) (a
>> dans R), sin(ax) (a dans R), etc.
>> On peut aussi souvent s'en sortir avec des arguments de limites ou pôles,
>> par exemple pour la famille des fractions rationnelles 1/(X-a) et
>> consorts...
>
> Pour l'exponentielle, je suppose que la famille des exp(ax) est liée, je
> prends une sous famille libre de cardinal maximal (existe), c'est une
> base, donc tout vecteur x s'écrit de façon unique sommes des l_i * exp(a_i
> * x). En dérivant on obtient x : somme des l_i * a_i * exp(a_i * x) donc
> pour tout i a_i = 1 ce qui est contradictoire.[/color]

Euh non, c'est pas une base (déjà il faudrait dire de quoi).

> Pour les sinus ... pareil (en dérivant deux fois)
> C'est ca où tu pensais à plus court ?

--
Mû

[Anonyme]

albert junior wrote:

> Pour l'exponentielle, je suppose que la famille des exp(ax) est liée, je
> prends une sous famille libre de cardinal maximal (existe), c'est une
> base, donc tout vecteur x s'écrit de façon unique sommes des l_i *
> exp(a_i * x). En dérivant on obtient x : somme des l_i * a_i * exp(a_i *
> x) donc pour tout i a_i = 1 ce qui est contradictoire.
> Pour les sinus ... pareil (en dérivant deux fois)
> C'est ca où tu pensais à plus court ?
>

C'est n'importe quoi, j'ai dérivé n'importe quoi. J'y repense et je reposte.

[Anonyme]

µ wrote:

> Euh non, c'est pas une base (déjà il faudrait dire de quoi).

Mon psot était truffé de fautes, je n'aurais pas du me presser avant la
fin de la mi-temps.
Soit : je reprends : je suppose que la famille des exp(ax) est liée, je
prends une sous famille libre de cardinal maximal (existe), c'est une
base *de l'ensemble des exp(a*x)* : je la note exp(a_i*x), 1<=i<=n. Soit
b tel que exp(b*x) ne soit pas dans la famille. Je peux écrire :
somme des l_i * exp(a_i * x) = exp(b * x), où les l_i sont uniques.
En dérivant
somme des l_i * a_i/b * exp(a_i * x) = exp(b * x), donc pour tout i,
a_i/b = 1 ce qui est contradictoire.

j'espère avoir écrit moins d'âneries cette fois.

--
albert

[Anonyme]

> Soit : je reprends : je suppose que la famille des exp(ax) est liée, je
> prends une sous famille libre de cardinal maximal (existe), c'est une
> base *de l'ensemble des exp(a*x)* : je la note exp(a_i*x), 1 tel que exp(b*x) ne soit pas dans la famille. Je peux écrire :
> somme des l_i * exp(a_i * x) = exp(b * x), où les l_i sont uniques.
> En dérivant
> somme des l_i * a_i/b * exp(a_i * x) = exp(b * x), donc pour tout i, a_i/b
> = 1 ce qui est contradictoire.

Non, une sous-famille libre maximale n'est pas forcément finie!
Je propose la rédaction suivante:
Supposons qu'il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non
tous nuls de ces fonctions. On en prend une ayant le moins de coefficients
non nuls:
l_1 exp(a_1 x) + ... + l_r exp(a_r x)=0 pour tout x, avec les l_i non nuls
et les a_i deux à deux distincts.
En dérivant, on a une nouvelle relation, avec des coefficients l_i*a_i.
En ôtant a_1 fois la première à la deuxième, on a une combinaison linéaire
nulle à coefficients tous non nuls, mais il n'y a que r-1 termes, ce qui est
absurde.
Il y a juste un cas où ce que je viens de dire est faux: si r=2 et a_2=0...
Dans ce cas, on échange les rôles de a_1 et a_2.
L'idée, c'est qu'une relation liant des vecteurs (i.e. une combinaison
linéaire nulle à coefficients non tous nuls) est une somme d'un nombre fini
de termes non nuls, on peut donc parmi toutes ces sommes en prendre une de
taille minimale. Le contraire, avec des familles libres maximale, pose
problème en dimension infinie, car on peut alors avoir des familles libres
infinies.

--
Mû

[Anonyme]

µ wrote:

> Non, une sous-famille libre maximale n'est pas forcément finie!

aïe, oui.

> Je propose la rédaction suivante:
> Supposons qu'il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non
> tous nuls de ces fonctions. On en prend une ayant le moins de coefficients
> non nuls:
> l_1 exp(a_1 x) + ... + l_r exp(a_r x)=0 pour tout x, avec les l_i non nuls
> et les a_i deux à deux distincts.
> En dérivant, on a une nouvelle relation, avec des coefficients l_i*a_i.
> En ôtant a_1 fois la première à la deuxième, on a une combinaison linéaire
> nulle à coefficients tous non nuls, mais il n'y a que r-1 termes, ce qui est
> absurde.
> Il y a juste un cas où ce que je viens de dire est faux: si r=2 et a_2=0...
> Dans ce cas, on échange les rôles de a_1 et a_2.
> L'idée, c'est qu'une relation liant des vecteurs (i.e. une combinaison
> linéaire nulle à coefficients non tous nuls) est une somme d'un nombre fini
> de termes non nuls, on peut donc parmi toutes ces sommes en prendre une de
> taille minimale. Le contraire, avec des familles libres maximale, pose
> problème en dimension infinie, car on peut alors avoir des familles libres
> infinies.

Merci pour la preuve.

En fait, il existe des ev de dimension infinie sur lesquels on peut
trouver une famille infinie liée mais ayant des sous-familles infinies
libres, c'est ca ?

--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:

> En fait, il existe des ev de dimension infinie sur lesquels on peut
> trouver une famille infinie liée mais ayant des sous-familles infinies
> libres, c'est ca ?

Je crois (j'espère) même avoir trouver un exemple : dans l'ensemble des
fonctions de R dans R, on prend la famille des exp(ax), a dans R, à
laquelle on rajoute exp(x) (pour l'avoir deux fois). Cette famille n'est
alors plus libre car la sous famille (exp(x),exp(x)) est liée, et
pourtant si on reprend la famille précédente sans le doublon on a bien
une famille libre.
En fait c'est assez évident puisque l'existence d'une sous-famille
libre, même si elle est infinie, ne garantit rien quand à la liberté de
la famille de départ (contrairement à ce que j'avais supposé à tort dans
ma tentative de démonstration).

--
albert