Ensembles, famille , ..,

[Doraki]

C'est les même.
Quand tu traduis "les éléments x de A telles que la chaîne des antécédents de x est infinie ou s'arrête sur un élément de A", ça donne la longue définition compliquée et un peu absconse de l'ensemble E de ton pdf.

[Anonyme]

Avant de comprendre ce que représente E faut commencer par comprendre ce que représente F(x) et c'est la que je bloque. En fait je peut visualiser ce que renvoie F (en termes d'ensemble complémentaires ) mais je ne vois pas trop ce que F représente dans la preuve propose par Nightmare.
Je pense qu'on peut donner "une interprétation" a F qui en quelques sorte "justifie" pourquoi on a eu recours a elle et c'est cela que j'aimerai bien comprendre car je ne peux pas imaginer que l'auteur de la preuve a poser cette fonction qui n'est pas très naturelle sans avoir une idée derrière la tête.

[Ben314]

Salut,
Si on veut essayer de "vendre" que le théorème est "assez naturel", on peut raisonner comme suit :

- Vu que les seules fonctions de l'énoncé sont f:M->N et g:N->M (injectives), pour fabriquer une bijection phi:M->N, on peut se peut dire que le plus naturel, c'est de prendre phi(x)=f(x) pour certains x et phi(x)=g^{-1}(x) pour les autres. Le tout est de trouver quels sont les x pour lesquel on va prendre phi(x)=f(x).

- Le départ est fastoche : les x qui sont dans Ao=M\g(N), ben y'a pas le choix vu que g^{-1}(x) n'existe pas, on est obligé de prendre phi(x)=f(x).

- Ensuite, si pour une certaine partie A de M, on a choisi {ou plutôt on a été forcé} de prendre phi(x)=f(x), ben ça signifie que les y de f(A) auront comme antécédent par phi les f^{-1}(y) et donc n'auront pas comme antécédent les g(y) {à moins que f^{-1}(y)=g(y)} donc ces fameux g(y) {qui sont dans g(f(A))} ne doivent pas avoir y=g^{-1}(g(y)) comme image par phi. Il sont donc forcés d'avoir f(y) comme image par phi.

Résumé : on est obligé de prendre sur , donc aussi sur donc aussi sur ,... donc en fait on doit prendre prendre sur .
Bon, et si par hasard, juste pour voir, on s'arrète là, c'est à dire que l'on prend sur , ça donne quoi ?
Ben aprés quelques petites vérifications, il s'avère que... ça marche.

Ensuite, si tu regarde "ton texte" ou bien la "khôle" de nightmare (et que tu prend un peu de recul), ben tu verra que les deux suivent trés exactement le même fils conducteur que ce qu'il y a juste au dessus. La seule (trés légère) différence est sur la rédaction.

[Doraki]

Pour comprendre E, le mieux n'est pas d'essayer de comprendre F, mais de regarder ce que sont F0(M), F1(M), F2(M), ...
et de regarder plus en détail sur les 3 sortes de chaînes que tu connais.


C'est une définition par coinduction.

E est le plus grand sous-ensemble X de M tel que
les éléments de X sont les éléments de M qui n'ont pas d'antécédent par g ou qui s'écrivent de la forme g(f(x)), avec x dans X.

Pour le construire on part de M, et on retire tous les éléments qu'on peut retirer en un nombre fini d'étapes :
On prend M, on retire les g(x) avec x sans antécédent par f (on sait qu'ils y seront jamais), puis on retire g(f(ce qu'on a retiré)), et ainsi de suite.

Il est plus simple (ou pas) de regarder les éléments qui ne sont pas dans E, si tu préfères l'induction, ou la récurrence :
Les éléments qui ne sont pas dans E est le plus petit sous-ensmble X de M tel que
les éléments de X sont les éléments de M qui sont de la forme g(x) avec x qui n'a pas d'antécédent par f, ou x = f(y) avec y dans X.

Pour le construire on part de l'ensemble vide, et on ajoute tous les éléments qu'on peut ajouter en un nombre fini d'étapes :
On prend l'ensemble vide, on rajoute les g(x) avec x sans antécédent par f, puis on rajoute g(f(ce qu'on a mis)), et ainsi de suite.

[Anonyme]

Merci pour vos réponses. :zen:

Je viens de les lire et déjà je comprend beaucoup mieux ce qui se passe même si c'est pas très net dans ma tête. Je vais y réfléchir longuement en examinant les deux preuves pour avoir assez de recul en espèrent avoir une vue d'ensemble sur le théorème (qui est assez intéressant )