Ensembles complexes de points

[|z|]

Bonjour, je viens d'entrer en MPSI, et dans un exercice, on étudie l'ensemble
D = {z€C, |z - 1/2| < 1/2} et f telle que z --> z (1-z).

J'essaye de montrer que D est stable par f, soit f(z) € D, puis déterminer l'ensemble des images de points de f(D), et enfin trouver les z tels que f(z) = z, mais je ne vois pas comment commencer. J'ai essayé de bricoler les inéquations mais j'ai quelques problèmes avec la notion de "module" dans ce genre d'exercices, comment s'en débarasser, etc. Est-ce que je peux résoudre une inéquation "normale" ? Faut-il poser z = x+iy ? :triste:

Merci bien.

[leon1789]

Faut-il poser z = x+iy ? :triste:

vu l'hypothèse, surtout pas. (EDIT : En fait, c'est possible, mais bof...)

mais plus simple est de comparer | f(z)-1/2 | et | (z-1/2)^2 |

[|z|]

OK pour |f(z) - 1/2| mais pourquoi le comparer avec |z - 1/2|² après ?

[nuage]

Salut,

[|z|]

Merci pour ces indications :++: Toutefois, je suis dans le noir en ce qui concerne les modules: si il y a un module de chaque côté, à quelles conditions puis-je les enlever? Je peux les décomposer en sommes ou produits de plusieurs modules, non ?

[nuage]

donc si alors

[|z|]

Merci nuage! :we:

[mathelot]

Salut,

salut,
je plussoie sur ce qu'écrit Nuage:

içi, le domaine de départ de f est défini par:


c une bonne idée de poser
d'où

[mathelot]

re,

les nombres complexes h de module , constituent le disque ouvert H centré en l'origine, de rayon

Pour un h fixé, comment situe-t-on le point d'affixe ? (avec la forme trigo)
répondre à cette question donne l'image de H par
l'application

si on considère ce "mouvement", on voit qu'il ne s'agit pas d'une rotation,
car dans le sens trigo, les points tournent de plus en plus rapidement
puisque


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Pour l'équation f(z)=z
est un corps, les éléments non nuls y sont inversibles
donc réguliers, on peut simplifier les deux membres de l'équation par z si