Ensembles et applications

[Watchmen]

Bonsoir, je sèche sur un exercice de sup où j'ai perdu beaucoup de temps cependant je ne viens pas les mains vides. Merci pour votre aide.

E et F sont deux ensembles tels qu'il existe une injection f de E dans F et une injection g de F dans E. L'objet du problème est de prouver qu'il existe une bijection de E sur F.
On définit h=gof, A=h(E), B=g(F)\A, C=E\(AuB) et pour tout entier naturel k : Ak = h^k(A), Bk = h^k(B) et Ck = h^k(C).

1)a) Montrer que si B est vide alors E et F sont équipotents.

Si B=Ø
g(F)\A=Ø
g(F) C ou égal à h(E)
Mais h(E) = g(f(E)) donc h(E) inclus ou égal à g(F)
Donc g(F) = h(E). Et là je n'arrive plus à aboutir qu'il existe une bijection de E dans F.

[yos]

g(F) contient A (évident).
Donc dire que g(F)-A est vide revient à dire que g(F)=A.

Ensuite g(f(E))=g(F) entraîne f(E)=F par injectivité de g (point à détailler en prenant des éléments).

[mathelot]

bonsoir,
1ère chose à faire:
dessiner des patatoïdes.
Une injection f conserve les cardinaux entre E et f(E)
car une injection de E vers F devient bijective de E sur f(E).

A priori, on a les inclusions

en composant par g:


l'idée est de montrer que
B=g(F \ F(E))
en démontrant la double inclusion.

B=g(F) \ g(F(E))
si
alors :
x=g(z) avec
et
g étant injective, l'antécédent z de x est unique.
donc et

la dernière condition est vraie car x n'est pas parasité
par un autre antécédent z', suite à l'injectivité de g.

de m^me pour l'inclusion réciproque.

maintenant si B est vide , comme B=g(F-F(E))
c'est que F-F(E) est vide, ce qui signifie que f est surjective, donc bijective.

grillé par Yos ! :doh:

[mathelot]

euh, pour la suite...

si u est injective, u admet un inverse à gauche (surjective) pour la composition
si u est surjective, u admet un inverse à droite (injective) pour la composition

ces propriétés générales te permettront p-e de déduire,à partir de propriétés de u^k, des propriétés de u, en simplifiant la puissance grâce à un inverse.