Ensembles et applications

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à démontrer que f surjective équivaut à F injective
Etant donnée une application f: X -> Y et en considérant l'application
F: P(Y) -> P(X)
: B -> f^-1(B)={x appartenant à X: f(x) appartient à B}.

Le prof nous a conseiller de démontrer d'abord que ff^-1(B)=B quelque soit B équivaut à f: X->Y surjective
Mais je n'arrive pas non plus à démontrer cela.
J'ai besoin d'aide, merci.

[fahr451]

supposons f surjective montrons F injective

prenons B et B ' dans Y tels

F(B) = F(B')

soit

f^(-1) (B) = f^(-1) (B')

en utilisant la propriété ( qu 'on démontrera plus tard)

on obtient

f(f^(-1) (B) ) = f^ (f^(-1) (B ' ) )

soit B = B ' et F injective

on suppose F injective montrons f surjective

soit y dans Y

si y n'a pas d'antécédent par f alors

f^(-1) {y] = vide = f^(-1) (vide)

soit F( {y} ) = F (vide) et comme
F injective

{y} = vide absurde
donc y a au moins un antécédent par f et f surjective

[minidiane]

Bonsoir fahr merci pour ton aide.
Je n'ai pas bien compris pourquoi le fait d'avoir B=B' montre que F est injective. Peux-tu m'expliquer cela?
J'aimerai savoir aussi lorsque tu supposes qu"il n'y a pas d'antécédant si tu calcul f^-1({y}) ou f^-1(y)?
Merci

[fahr451]

pour montrer qu 'une application est injective on prend deux éléments qui ont la même image et on montre qu ils sont égaux



f^(-1) (y) n existe pas car f a priori n est pas bijective

ce qui existe c 'est

f^(-1) ({y}) ensemble des antécédents de y

[minidiane]

:we: Ah oui merci fahr j'ai compris.

Par contre pour démontrer la propriété je ne vois pas comment faire.

[fahr451]

pour f : X -> Y quelconque

on démontre

f( f^(-1) (B)) = B inter f(X) essaye de le faire je t 'aiderai si besoin


comme f surjective <=> f(X) = Y c 'est gagné

[minidiane]

ok par contre je ne comprend pas pourquoi je dois faire inter f(x)

[fahr451]

ben ben j'ai pas de réponse

parceque c'est ainsi

[minidiane]

ok lol désolé
PAr conrte je ne vois aps ce que ça fait B inter f(x)
est-ce que je dois supposer que B appartient à X?

[fahr451]

B est une partie de Y

[minidiane]

Ah ok
Donc f^-1(B) appartient à X c'est bien ça?
Donc f(f^-1(B)) appartient à Y cela représente f(X)
Mais je suis toujours bloqué avec B inter f(x)

[fahr451]

f(X) est l ensemble de toutes les images

[minidiane]

Mais alors B inter f(x) = B non? car B appartient à cet ensemble
mais dans ce cas je ne vois pas l'utilité de faire ça :marteau:

[fahr451]

non B est une partie de Y dans B certains éléments ne sont pas des images

[minidiane]

Ah oui ok

mais comment savoir quels sont les éléments de B qui font partie des images?
Faut-il procéder par l'absurde?
C'est-à-dire supposer que B = vide?

[fahr451]

soit B inclus dans Y

montrons f( f^(-1) (B) ) = B inter f(X)

soit y dans f(f^(-1) (B))

il existe t dans f^(-1) (B)

tel que y = f(t) or f(t) est dans B donc y aussi

et y est dans f(X) donc y est dans B inter f(X)

fais la réciproque

[minidiane]

Réciproque:
Soit Y dans B inter f(X)
il existe t dans B inter f(X) tel que f(t)=Y
or f(t) est dans B
donc f(f^(-1)(B)) est dans B donc dans Y
Est-ce que cela est correcte?

[fahr451]

non

soit y dans B inter f(X)

il existe t dans X tel que y = f(t)

f(t) est dans B donc t est dans f^(-1) (B) donc y = f (t) est dans
f (f^(-1) (B) )

[minidiane]

:we: Merci fahr pour ton aide.
J'ai encore du mal à comprendre pourquoi ceci démontre la propriété surtout au niveau de la surjection var j'ai l'impression qu'on utilise à chaque fois le fait que f est surjective.

[minidiane]

J'ai encore du mal à comprendre pourquoi ceci démontre la propriété surtout au niveau de la surjection var j'ai l'impression qu'on utilise à chaque fois le fait que f est surjective. Peux tu m'expliquer cela fahr stp
Merci