Ensemble image nombres complexes

[Fumille]

Bonjour. J'ai un exo que voici à faire pour mardi. Je sais comment démarrer mais je ne sais pas vraiment ce que je dois chercher une fois les données utilisées.

C désigne les complexes

Soit f : C --> C
z --> 1/(1+z+z²)
Je dois trouver l'image par la fonction f du cercle trigonométrique

Soit g : C --> C
z --> (1/2)*(z+(1/z))
Je dois trouver l'image par la fonction g de l'ensemble des nombres complexes dont le module est compris entre 1 et 2 au sens large.

Pour la fonction f, j'ai posé z = exp(ia) où a est un réel. J'obtiens f(z) = exp(-ia)/(2cos(a)+1). Donc il s'agit d'un imaginaire pur mais je sais pas comment conclure, comment exprimer l'ensemble image que je cherche...
Pour la fonction g, j'ai posé z = r*exp(ia) où a,r sont des réels, r compris entre 1 et 2. Mais je tourne en rond sans trouver d'expressions intéressantes.

Si qqun peut m'aiguiller svp merci :)

[Ericovitchi]

Avant de faire des calculs, un bon moyen de visualiser le résultat est de prendre geogebra, de définir un nombre complexe variable avec un curseur faisant varier l'angle.

Puis tu crées le nombre complexe 1/(z²+z+1) et tu demandes sont lieu quand le curseur varie.
tu trouves l'hyperbole en pointillé rouge.

Pour l'autre tu crées aussi un curseur r variant de 1 à 2, tu crées le nombre complexe (z+1/z)/2 et tu demandes le lieu quand a varie. tu trouves une ellipse. tu fais varier r et tu demandes la trace, tu trouves la zone que l'on te demande (l’intérieur d'une ellipse que tu vois en bleu sur le dessin).

maintenant tu connais les résultats que tu dois trouver par le calcul.
(et exp(-ia)/(2cos(a)+1) n'a jamais été un imaginaire pur)

[vingtdieux]

Votre f(z) est juste mais ce n'est pas un imaginaire pur. C'est aussi un nombre complexe. En regardant bien on voit que c'est le complexe conjugué de z dont le module a été divisé par 2cos a + 1. Quand a va de 0 à pi/2 par exemple f(z) décrit une courbe dans la partie Im z<0 partant de l'affixe (1/3,0) et allant à (0,-i).

[chan79]

salut
pour f:
on peut éventuellement partir comme ça:
on pose z=cos(t)+i*sin(t)
et z'=x+iy
en remplaçant z dans l'expression de z', on arrive à x=cos(t)/(1+2*cos(t)) et y=-sin(t)/(1+2cos(t)), ce qui correspond à ton résultat.
En éliminant t (exprimer cos(t) en fonction de x), on arrive à la conclusion que
z' appartient à l'hyperbole d'équation 3x²-y²-4x+1=0 (en pointillés rouges sur le dessin d'Ericovitchi plus haut)
On peut écrire


Il faut vérifier qu'on obtient toute l'hyperbole

La même méthode aboutit pour g.

[Fumille]

Oui évidemment que ce n'est pas un imaginaire pur je ne sais pas pourquoi j'ai dit ça...

Chan79 je ne comprends pas comment tu trouves l'équation 3x²-y²-4x+1=0

En revanche pour la fonction g je trouve la paramétrisation suivante :
x(t) = (r/2+1/2r)*cos(t)
y(t) = (r/2-1/2r)*sin(t)
Je conclus qu'il s'agit d'une ellipse de centre (0,0) de demi grand axe (r/2+1/2r) et de demi petit axe (r/2-1/2r). Comme r varie on aura plusieurs ellipses comme le signifie ton dessin Ericovitchi...?

[chan79]

Oui évidemment que ce n'est pas un imaginaire pur je ne sais pas pourquoi j'ai dit ça...

Chan79 je ne comprends pas comment tu trouves l'équation 3x²-y²-4x+1=0

En revanche pour la fonction g je trouve la paramétrisation suivante :
x(t) = (r/2+1/2r)*cos(t)
y(t) = (r/2-1/2r)*sin(t)
Je conclus qu'il s'agit d'une ellipse de centre (0,0) de demi grand axe (r/2+1/2r) et de demi petit axe (r/2-1/2r). Comme r varie on aura plusieurs ellipses comme le signifie ton dessin Ericovitchi...?

x=cos(t)/(1+2*cos(t)) donne cos(t)=x/(1-2x)
Avec y=-sin(t)/(1+2*cos(t)) on trouve sin(t)=-y/(1-2x)
Comme cos²x+sin²x=1

x²+y²=(1-2x)² soit 3x²-y²-4x+1=0
pour g, c'est l'intérieur de l'ellipse d'équation

Si z est dans la zone bleue, g(z) est dans la zone rouge

[Fumille]

Oui c'est mieux dit pour la fonction g merci.

C'est bon pour l'équation :) je bloquais sur le sin(t)...

Après qu'est-ce que tu entends par vérifier qu'on obtient toute l'hyperbole? (je n'ai pas un bon niveau sur les coniques)

PS : je prends note de ton dessin, je devrais sûrement le refaire je passe au tableau :p

[chan79]

Après qu'est-ce que tu entends par vérifier qu'on obtient toute l'hyperbole? (je n'ai pas un bon niveau sur les coniques)

il faut être sûr que si on prend un point sur l'hyperbole (soit a+ib avec 3a²-b²-4a+1=0), il existe z de module 1 tel que f(z)=a+ib

[vingtdieux]

Simplement ||f(z)|| c'est l'équation polaire d'une ellipse (http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_%28math%C3%A9matiques%29).......