Ensemble discret

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Pourquoi un ensemble discret dans un compact est fini ?

Merci d'avance.

[arnaud32]

quelles sont pour toi les definitions de compacte, et de discret?

[barbu23]

Un ensemble discret est un ensemble muni de la topologie discrète ( ou bien : un ensemble dont les point sont isolés )
Un compact est un ensemble séparé dont tout recouvrement ouvert admet un sous recouvrement fini.

[arnaud32]

tu notes C le compact
D ton ensemble discret inclu dans C
forment donc un recouvrement d'ouverts de D, qui sont les traces d'ouverts de C dasn D ...

[barbu23]

Merci. :happy3:
Donc :


non ?

[arnaud32]

c'est quoi ?

[barbu23]

est ouvert du compact que tu as appelé .
J'ai mal formulé ma réponse.
On prend un recouvrement ouvert de : tel que : et . Donc : = \displaystyle \bigcup_{x \in D} \{ x \} = D \bigcap C= D \bigcap \Big( \displaystyle \bigcup_{ x \in D } U_x ) [/TEX]
[/TEX]= D \bigcap \Big( \displaystyle \bigcup_{ i=1, ... , n } U_i ) = \displaystyle \bigcup_{ i=1,...,n } \Big( D \bigcap U_i \Big) = \displaystyle \bigcup_{i=1,...,n} \{ x_i \} [/TEX].
non ?

[barbu23]

est ouvert du compact que tu as appelé .
J'ai mal formulé ma réponse.
On prend un recouvrement ouvert de : tel que : et . Donc :

.
non ?

[arnaud32]

faut deja prouver qu'un tel recouvrement existe

[barbu23]

reste a prouver qu'un tel recouvrement existe

Oui, et de l'autre coté, il faut considérer n'importe quel recouvrement ouvert et pas uniquement celui que j'ai choisi. :hum:
Tu peux m'aider à améliorer ma réponse précédente ?. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[arnaud32]

tu peux considerer l'adherence de D dans C et montrer qu'elle est incluse dans l'union des

[barbu23]

On prend un recouvrement ouvert quelconque de tel que : et qui vérifie toujours : et avec : fini. non ?
Donc :

.
non ?

Edit : Attend, je vais essayer de comprendre ce que tu m'as écrit. :happy3:

[barbu23]

tu peux considerer l'adherence de D dans C et montrer qu'elle est incluse dans l'union des

Je n'ai pas compris où tu veux aller. :happy3:

[arnaud32]

tu montres que
est un ferme dans un compact, il est donc compact
tu peux donc extraire de la famille des une sous famille finie

[barbu23]

Je ne sais pas comment utiliser ton idée pour arriver au résultat escompté. :happy3:

[arnaud32]

il ne reste plus qu'a montrer que tu montres que

ce qui se fait facilement en utilisant le fait que dans un espace separe deux compactes disjoints sont inclus dans des ouverts disjoints

[barbu23]

tu montres que
est un ferme dans un compact, il est donc compact
tu peux donc extraire de la famille des une sous famille finie

peut être infini si la famille des éléments de possède un point d'accumulation, puisque est fermé. :happy3:

[Ben314]

Un ensemble discret est un ensemble muni de la topologie discrète ( ou bien : un ensemble dont les point sont isolés )
Un compact est un ensemble séparé dont tout recouvrement ouvert admet un sous recouvrement fini.

Avec ça comme définition, j'ai bien peur que l'ensemble des 1/n (n>=1) soit une partie discrète infinie du compact [0,1]....

[barbu23]

@Ben : Quelle est la bonne définition d'un ensemble discret @Ben ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

@Ben : Quelle est la bonne définition d'un ensemble discret @Ben ?
Merci d'avance. :happy3:

Qu'est ce que tu entend par "bonne" ?
Si c'est ce qu'il faut pour que le résultat soit vrai, tu peut garder la même définition mais ajouter dans ton théorème :
toute partie discrète et fermée d'un compact est finie.