Ensemble des bijections de N dans N
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Ensemble des bijections de N dans N
par Anonyme » 01 Oct 2010, 21:10
Bonsoir, je voudrais savoir si l'ensemble des bijections de N dans N est équipotent à N ou à R ? Merci d'avance :)
par girdav » 01 Oct 2010, 21:46
Bon, je suppose que tu n'es pas intéressé que par la réponse mais aussi par une démonstration. On note 
l'ensemble des applications de 
dans 
et 
la cardinalité d'un ensemble .
On peut montrer que^{\mathbb{N}}|=|\{0,1\}^{\mathbb{N}^2}|)
. Si tu connais le résultat selon lequel 
alors tu vois que l'on a ^{\mathbb{N}}| =|\{0,1\}^{\mathbb{N}^2}|=|\{0,1\}^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{R}|)
.
On peut montrer que
par girdav » 01 Oct 2010, 22:12
Je crois que je peux me rattraper en considérant l'application qui à une bijection de 
dans associe l'ensemble de ses points fixes. Cette application est une surjection de l'ensemble des bijections de dans dans l'ensemble des parties de .
par euler21 » 03 Oct 2010, 16:23
Bonjour
pour construire une telle bijection je pense qu'il faut procéder ainsi:
on pose et b_n = f^{n}(b))
et pour tout n on doit avoir les deux familles d'éléments distincts deux à deux...
pour construire une telle bijection je pense qu'il faut procéder ainsi:
on pose
par euler21 » 03 Oct 2010, 16:30
Les suites 
construits de façon à ce qu'elle soient d'éléments distincts, convergent toutes les deux vers deux valeurs 
différentes. Après on pose =\beta et f(\beta)=(\alpha))
et les autres éléments de [a,b] ont pour image eux-mêmes.
Je pense que ça peut faire l'affaire.
Je pense que ça peut faire l'affaire.
par Ben314 » 03 Oct 2010, 16:33
euler21 a écrit:Bonjour
pour construire une telle bijection je pense qu'il faut procéder ainsi:
on pose
Si tu cherche des bijections "simples" (i.e pas forcément continues ou croissante ou...) de ]a,b[ dans [a,b] alors seul le cardinal de ]a,b[ et de [a,b] influe sur le résultat.
Si aR.
Ce nombre est clairement majoré par le nombre de fonctions de R->R qui est R^R=2^R et, en associant à toute partie A de R*+ la bijection f:R->R qui à x associe x si x est dans (Au-A) et -x sinon, on voit que le nombre de bijection de R->R est minoré par le nombre de parties de R*+ qui est égal à 2^R.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par euler21 » 03 Oct 2010, 16:41
aarnaud a écrit:Et une bijection (pas continue) entre [a,b] et ]a,b[ ?
Salut Ben
Tout ce que j'ai essayé de faire c'est d'essayer de construire une telle bijection.
On sait que tous les intervalles (qui contiennent au moins deux éléments) ont le même cardinal que R.
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