[prépa] exercices bijections

[luckyspirit]

Bonjour, je suis actuellemnt en prépa éco et même si je suis à l'aide avec les bijections, je ne ais pas résoudre ce type d'exercice avec des fonctions à plusieurs variables (j'en ai jamais fait). Quelqu'un pour m'aider?

Voici l'énoncé:

" Déterminer si ces fonctions sont injectives, surjectives ou bijectives, si oui déterminer l'application réciproque.
f:R²->R² avec f(x;y) = (x-2y;x+3y).
f:R²->R avec f(x;y) = 2x+y. "

Merci de me guider! Je vous remercie par avance de prendre le temps de répondre à cette exercice.

[moroccan]

Bonjour,
Le principe est le même que ce soit pour les fonctions à une ou à 2 variables.

f bijective <=> f est à la fois injective et surjective
<=> tout élément de l'ensemble d'arrivée admet un UNIQUE prédecesseur (on dit alors que f admet une fonction inverse f-1....)


f injective <=> tu supposes f(x1,y1) = f(x2,y2), si tu truves que x1=x2 et y1=y2,, alors f est injective, sinon elle ne l'est, et dans ce cas il suffit d'un contre-exemple
f surjective <=> tout élément de l'ensemble a (au moins) un prédécesseur.

1-Soient y1, y2 quelcoques de R : f(x1,x2) = (y1,y2) <=> (S) x1-2x2 = y1 et x2+3x3 = y2
Ceci est un système dont le déterminant est D=5 >0, donc il admet UNE solution UNIQUE.(Ref, système de deux équations à 2 inconnues)
Autrement dit tout élément (y1,y2) de l'ensemble d'arrivée admet un prédecesseur unique

Donc f est bijective => injective t surjective aussi.


2-f est clairenemt surjective, il suffit pout cela de prendre comme prédécesseur d'un y dans R, l'élément de R2 (couple) : (0,y)

f n'est pas injective. pquoi pour un y de R, il deux prédécesseurs (au moins) qui sont (0,y) et (1/3y, 1/3y)

f non inj => f non bij

J'espère d'abord que je ne me suis pas trompé dans mon raisonnement (ça fait un bout de temps que je n'ait fait d'exercice similaire) , ensuite que ça t'a aidé en quelque sorte.

[luckyspirit]

Merci de ton aide!