(L1) Bijections, applications et fonctions

[EvilPizza]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire, mais j'éprouve beaucoup de difficultés, je viens donc vers vous pour vous demander de l'aide.

On définit l'application :


(où et sont réels).

a) Montrer que pour tout dans C, on a .

b) Soit non nul. Montrer qu'il existe tel que . Ce est-il unique ? Existe-t-il tel que ?

c) En déduire que n'est pas une bijection de C dans C. Puis, sans justifier, donner un sous-ensemble E de C tel que réalise une bijection E dans C*.

d) Résoudre dans C l'équation .

Merci d'avance pour votre aide.

[moiyse]

a) commencer par f(z)f(w) pour atteindre à f(z+w)

[pascal16]

avec deux relations simples, on fait tout, c'est du calcul niveau "découverte de la fonction exp" qui est simplement l’extension de "puissance entière" du collège.
exp(a+ib)=exp(a)*exp(ib)
et exp(c+d)=exp(c)*exp(d)

[EvilPizza]

Hmm, j'ai du mal à comprendre, pour cette première question, il faut faire la démonstration de la forme exponentielle d'un nombre complexe ?

Et on commence par montrer que f(0)=0 et que f(-z)=-f(z) ?

[aviateur]

Bonjour
Il faut montrer que f(z+w)=f(z) f(w).
C'est pas compliqué
Tu poses z=a+i b , w= c+ id (a,b,c,d réels)
Calcule f(z+w) et f(z) f(w) et montre qu'ils sont égaux.