Ensemble de définition de la fonction Arcsin

[October12th]

Bonjour à tous,

J'me retrouve bloquée devant un truc assez simple : je sais que la fonction Arcsin est définie sur [-1;1], dans mon exercice, on me demande le domaine de définition de Arcsin(2xsqrt(1-x²))
Donc j'ai bien mis -1
Merci beaucoup !

[Skullkid]

Bonjour, il s'agit de résoudre la double inéquation -1 <= 2x sqrt(1-x²) <= 1, c'est-à-dire 2|xsqrt(1-x²)| <= 1, que tu peux facilement élever au carré.

[stephaneenligne]

bonsoir

je pense que tu as dit l'essentiel, Arcsin est définie sur [-1;1]
donc il faut simplement résoudre -1<2x(1-x²)^(1/2)<1

[October12th]

Skullkid : En fait là, je ne comprends pas bien ce que les valeurs absolues ont à voir dans l'affaire :/

stephaneenligne : C'est justement la double inégalité que j'ai du mal à résoudre, je bloque souvent sur des trucs tout bêtes, ça m'énerve :(

[stephaneenligne]

tout simplement par symétrie de l'inéquation.

De toute façon, je pense que tu n'as pas le choix, il faut que tu distingues 2 cas avant d'élever au carré car la fonction carrée n'est pas monotone.
1er cas : 02è cas: -1

[Skullkid]

L'intérêt des valeurs absolues est justement de ne pas distinguer de cas !

-1 <= 2xsqrt(1-x²) <= 1 équivaut à 2|x sqrt(1-x²)| <= 1 équivaut à 4x²(1-x²) <= 1 (sous réserve que la racine carrée soit définie, c'est-à-dire que |x| <= 1)

Certes la fonction carré n'est pas monotone, mais -a <= x <= a est équivalent à x² <= a².

[October12th]

En résolvant plus ou moins, j'obtiens une inéquation de degré 4, je pose un change de variable et j'obtiens x=sqrt(2)/2 ou x=-sqrt(2)/2, et après je suppose qu'il faudrait que je fasse un tableau de signe mais euh, je vois plus à quoi correspondent les x en fait, c'est les valeurs pour laquelle la polynome vaut 0 ?

[stephaneenligne]

skullkid va sûrement t'expliquer; apparemment il sait bien se mettre au niveau des élèves!

[October12th]

skullkid va sûrement t'expliquer; apparemment il sait bien se mettre au niveau des élèves!

C'est-à-dire que là je trouve que l'inégalité est vraie pour tout x appartenant à [-1;1], donc ça donnerait aucune condition ? :doh:

[Skullkid]

En résolvant plus ou moins, j'obtiens une inéquation de degré 4, je pose un change de variable et j'obtiens x=sqrt(2)/2 ou x=-sqrt(2)/2, et après je suppose qu'il faudrait que je fasse un tableau de signe mais euh, je vois plus à quoi correspondent les x en fait, c'est les valeurs pour laquelle la polynome vaut 0 ?

Attention, là tu as résolu l'équation 4x^4 - 4x² + 1 = 0, mais ce n'est pas qui est demandé. Ce que tu cherches, c'est résoudre l'inéquation 4x^4 - 4x² + 1 >= 0. Avec le changement de variable X = x² ça donne 4X² - 4x + 1 >= 0 qui est une inéquation du second degré en X.

Quelles sont les valeurs de X qui vérifient cette inéquation ?

[Skullkid]

C'est-à-dire que là je trouve que l'inégalité est vraie pour tout x appartenant à [-1;1], donc ça donnerait aucune condition ? :doh:

Oui, voilà. Plus précisément, dès que x est dans [-1,1], 2xsqrt(1-x²) est aussi dans [-1,1].

[October12th]

La véritable fonction était en fait : f : x-> Arctan(x/sqrt(1-x²)) - Arcsin(2x*sqrt(1-x²))

Donc comme Arctan était définie sur R, il suffisait de vérifier que sqrt(1-x²)>0, donc finalement, la fonction toute entière est juste définie sur ]-1;1[ ?

Une heure pour trouver ça, j'hâte de voir ce que les 6 prochaines questions me réservent o/

[Skullkid]

Oui, ]-1,1[ est le bon domaine de définition.

[stephaneenligne]

La véritable fonction était en fait : f : x-> Arctan(x/sqrt(1-x²)) - Arcsin(2x*sqrt(1-x²))

Donc comme Arctan était définie sur R, il suffisait de vérifier que sqrt(1-x²)>0, donc finalement, la fonction toute entière est juste définie sur ]-1;1[ ?

Une heure pour trouver ça, j'hâte de voir ce que les 6 prochaines questions me réservent o/

c'est en forgeant qu'on devient forgeron!

[October12th]

J'aurais une toute toute dernière question, on me demande de simplifier l'expression de cette fonction à partir d'un changement de variable f : x-> Arctan(x/sqrt(1-x²)) - Arcsin(2x*sqrt(1-x²)).

Mais vu de là, je ne vois vraiment pas quoi poser comme changement...

[busard_des_roseaux]