Ensemble algébrique

[zork]

Bonsoir

Le sous-ensemble est il un sous-ensemble algébrique?


Pour faire cela, dans le corrigé on calcule I(C). Personnellement je pensais qu'un ensemble algébrique (ici C) devait vérifier C=V(...). Pourquoi ne fais-t-on pas cela ici?


merci

[Ben314]

Salut,
Quand tu utilise des notations style I(C) ou V(?), ça serait pas con de dire à quoi ça correspond...

Vu le contexte, je suppose que ton I(C) est l'ensemble des P de R[x,y] tels que et que, si S est une partie de R[x,y] alors ton V(S) c'est .

Aprés, si tu devais montrer que C est effectivement un sous-ensemble algébriqe de R², il suffirait d'exhiber une partie S de R[x,y] telle que C=V(S), c'est à dire d'écrire "je prend comme par hasard S=??? et... ça marche...".

Sauf que là, C n'est pas un sous ensemble algébrique et que vu le nombre de parties S qu'il y a dans R[X,Y], de toutes les essayer pour voir si V(S)=C, ça semble délicat. Donc le plus simple, et de loin, c'est de raisonner par l'absurde en supposant que C=V(S) et en regardant qui sont les polynôme succeptibles d'être dans S c'est à dire en... évaluant I(C).

[zork]

déjà merci de ton aide.
Pour les notations dans le cadre général (pas celui de l'exo). Soit K un corps




Pour l'exo, j'aurai dis que C est algébrique, car
soit (t,1/t) dans C, j'ai déjà t(1/t)=0 donc C inclus dans V(XY-1)
soit (x,y) dans V(XY-1), xy-1=0
en posant x=t et en prenant t>0 y=1/t
donc (x,y) dans C
du coup j'ai


Apparemment pour toi C n'est pas algébrique donc tu calcules I(C). Mais comment trouver I(C)?

[Ben314]

...en posant x=t et en prenant t>0 y=1/t...

Et c'est quoi qui t'autorise à "prendre" t>0 ?

Parce que, perso, je m'autorise pas à "prendre" des trucs sous prétexte que ça m'arrange et, qu'en l'ocurence, j'en déduit que ton ensemble C n'est pas algébrique :

Preuve :
Si alors, par définition, pour tout t>0, on a f(t,1/t)=0.
Or f(t,1/t) est une fraction rationelle en t donc si elle n'est pas identiquement nulle, elle n'a qu'un nombre fini de zéros (les zéros de son numérateur). Comme ici elle s'annule sur un ensemble infini, c'est qu'elle est identiquement nulle et donc que f(t,1/t)=0 pour tout réel t non nul (et pas seulement les positifs).
Cela prouve que les (t,1/t) avec t<0 sont forcément eux aussi dans et donc que S n'est pas algébrique.
En fait, le plus petit sous ensemble algébrique contenant S est l'esemble des (t,1/t) avec t non nul.

[zork]

en faites t>0 vient de C

[Ben314]

en faites t>0 vient de C

Donc, si je comprend bien, pour montrer que V(XY-1) est une partie de C, ben tu part d'un élément de V(XY-1) et tu "prend"... qu'il est dans C (parce que, "prendre t>0", ça veut exactement dire ça)

J'espère que tu comprend que... ça le fait pas...

[zork]

oui c'est débile

[zork]

que faudrait il pour que C soit algébrique?

[Ben314]

que faudrait il pour que C soit algébrique?

Mathématiquement parlant, c'est une "question con" :
Si je te demande "que faudrait-il pour que racine(2) soit un rationnel ?" tu répond quoi ?

A la rigueur, ici, on peut chercher le plus petit ensemble algébrique contenant C (il existe vu que toute intersection d'ensembles algébriques est algébrique) et c'est clairement l'ensemble C' des (t,1/t) avec t non nul vu que
1) tout f(X,Y) qui s'anulle sur C est forcé de s'annuler sur C'
2) C'=V(XY-1) est effectivement algébrique.

[zork]

je viens de me rendre compte que j'ai pas compris quelque chose
Normalement pour montrer que C n'est pas algébrique on doit calculer I(C) et voir que V(I(C)) différent de C

Ici je cherche à montrer que I(C)=
j'ai déjà inclus dans I(C) mais comment montres tu l'autre sens? parce que toi tu ne calcules pas I(C)?

[Ben314]

je viens de me rendre compte que j'ai pas compris quelque chose
Normalement pour montrer que C n'est pas algébrique on doit calculer I(C) et voir que V(I(C)) différent de C

Ici je cherche à montrer que I(C)=
j'ai déjà inclus dans I(C) mais comment montres tu l'autre sens? parce que toi tu ne calcules pas I(C)?

Non, effectivement, je ne calcule pas explicitement I(C) : je montre uniquement que V(I(C)) contient l'ensemble C' des (t,1/t) avec t réel non nul et donc que V(I(C)) est différent de C.

Aprés, pour montrer que I(C)=, il y a effectivement une inclusion immédiate.
Pour l'autre inclusion, partant d'un élément f de I(C), et étant trés mauvais en polynôme à plusieurs variables...
je regarderais f comme un élément de L[Y] avec L=K(X) le corps des fractions rationelles en X ce qui me permetrais de faire la division euclidienne de f par XY-1 et j'en déduirais aprés quelques lignes que f=(XY-1)g où g est dans K[X,Y].

[zork]

imaginons que je veuille calculer l'adhérence de C pour la topologie de Zariski. Suis je obligé de calculer I(C) ou bien il y a une astuce?

[Ben314]

imaginons que je veuille calculer l'adhérence de C pour la topologie de Zariski. Suis je obligé de calculer I(C) ou bien il y a une astuce?

T'es sûr que la topologie de Zariski ça serait pas une topologie sur l'ensemble des idéaux plutôt que sur les parties de K^n ?

[Ben314]

Non, je viens de regarder : on parle aussi de topologie de zariski sur k^n.

Ici, tu as pas franchement besoin de calculer I(C) vu que ce qui t'interesse, c'est V(I(C)) et que ça, c'est le fameux C' (voir ça dessus pour la preuve)

[zork]

par définition l'adhérence dans cette topologie c'est V(I(C))

[L.A.]

Bonsoir.

T'es sûr que la topologie de Zariski ça serait pas une topologie sur l'ensemble des idéaux plutôt que sur les parties de K^n ?

Les deux, c'est à la fois la topologie sur Spec K[X_1,...,X_n] = {ensemble des idéaux premiers}, et la topologie induite sur l'espace de ses points rationnels qui est K^n.

imaginons que je veuille calculer l'adhérence de C pour la topologie de Zariski. Suis je obligé de calculer I(C) ou bien il y a une astuce?

Dans le cas général, ça me semble indispensable...