Ensemble algebrique

par **barbu23** » 25 Mar 2010, 22:29

Bonsoir : :happy3:
J'ai besoin d'eclaircissements à propos du lien qui existe entre les deux definitions suivantes : happy3:
Definition 1 : :happy3:
Un ensemble algebrique est une partie de

de la forme :

où :

Les ensembles algebriques forment des fermés pour une topologie qui s'appelle topologie de Zariski sur

.
Definition 2 : :happy3:
Soit

un anneau.
On appelle spectre de

, l'ensemble des ideaux premiers de

qu'on note par :

Soit

un ideal de

.
On pose :

On munit

de la topologie des fermés dite de Zariski qui a pour éléments les :

Ma questi on est de savoir quel lien existe entre :

et

dans les deux definitions ?
Merci d'avance ! :happy3:

par **Doraki** » 26 Mar 2010, 11:00

Si A est l'anneau C[X1...Xn], il y a bijection entre C^n et les idéaux maximaux de A.

Donc on peut dire que C^n est inclus dans Spec A ; et la restriction de la topologie de zariski de Spec A à Spm A = C^n est la topologie de zariski de C^n

par **Finrod** » 26 Mar 2010, 12:14

Tu entends quoi par "topologie de Zariski de

" ?

C'est un corps...

par **barbu23** » 26 Mar 2010, 23:07

Finrod a écrit:Tu entends quoi par "topologie de Zariski de " ?

C'est un corps...

c'est la topologie des fermes de

formés des zeros annulant un nombre quelconque de polynomes ! :happy3:

par **barbu23** » 26 Mar 2010, 23:09

Doraki a écrit: il y a bijection entre C^n et les idéaux maximaux de A.

Comment le sais tu ? :happy3:
Merci ! :happy3:

par **Finrod** » 27 Mar 2010, 09:17

SI tu veux juste une preuve, c'est sur la page wikipedia.

[url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_algébrique[/url]

Est ce qu'il y a une façon simple de le voir ?

J'ai l'impression qu'a un point de

, on associe l'idéal engendré par

. Mais ce n'est pas injectif.
Et l'idéal engendré par

est maximal aussi... donc ce n'est pas non plus surjectif.

par **Doraki** » 27 Mar 2010, 09:40

Soit z = (z1,...,zn) dans C^n.
L'idéal I(z) des polynômes qui s'annulent sur z est engendré par (X1-z1) ... (Xn-zn), et il est maximal. (le quotient C[X1...Xn]/I(z) est isomorphe à C, qui est un corps)

Inversement, si I est un idéal propre de C[X1...Xn], d'après le Nullstellensatz de Hilbert il existe un point z de C^n où tous les polynômes de I s'annulent simultanément, donc I est contenu dans l'idéal maximal I(z).

par **Finrod** » 27 Mar 2010, 10:22

Ok, c'est clair comme ça.

Evidemment, mon idéal, qui était engendré par un seul polynome ne pouvait pas etre maximal.

par **barbu23** » 30 Mar 2010, 22:59

D'accord ! Merci pour ces precisions à vous dès que je comprends pas quelques chose ! :happy3:

par **barbu23** » 31 Mar 2010, 12:37

Doraki a écrit:Soit z = (z1,...,zn) dans C^n.
L'idéal I(z) des polynômes qui s'annulent sur z est engendré par (X1-z1) ... (Xn-zn), et il est maximal. (le quotient C[X1...Xn]/I(z) est isomorphe à C, qui est un corps)

Inversement, si I est un idéal propre de C[X1...Xn], d'après le Nullstellensatz de Hilbert il existe un point z de C^n où tous les polynômes de I s'annulent simultanément, donc I est contenu dans l'idéal maximal I(z).

j'ai aucun problème là ! :happy3:

Doraki a écrit:Si A est l'anneau C[X1...Xn], il y a bijection entre C^n et les idéaux maximaux de A.

C'est là, mon probème ! :happy3:
Est ce que tu voulais dire là, qu'il y'a bijection entre les ensembles algebriques de

et les ideaux radiciels ( y compris les ideaux premiers du spectre ) de

, parceque là, il y a bijection entre C^n et les idéaux maximaux de A. ça me dit pas grande chose ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **Finrod** » 31 Mar 2010, 12:44

ça te parle plus avec ça : [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Idéal_maximal[/url] ?

par **barbu23** » 31 Mar 2010, 12:45

mais, je sais ce qu'est un ideal maximal, mais c'est pas ça le problème ! :happy3:
J'arrive pas encore à trouver le lien entre

et

!

par **Finrod** » 31 Mar 2010, 12:55

Il y a une bijection entre

et l'ensemble des idéaux maximaux de

contenant S.

Il y a donc inclusion

où I est engendré par S.

par **barbu23** » 31 Mar 2010, 12:59

Finrod a écrit:Il y a une bijection entre et l'ensemble des idéaux maximaux de contenant S.

Il y a donc inclusion où I est engendré par S.

Alors, maintenant d'accord ! :happy3:
Merci ! :happy3:

par **barbu23** » 31 Mar 2010, 13:43

Doraki a écrit:Soit z = (z1,...,zn) dans C^n.
L'idéal I(z) des polynômes qui s'annulent sur z est engendré par (X1-z1) ... (Xn-zn), et il est maximal. (le quotient C[X1...Xn]/I(z) est isomorphe à C, qui est un corps)

Inversement, si I est un idéal propre de C[X1...Xn], d'après le Nullstellensatz de Hilbert il existe un point z de C^n où tous les polynômes de I s'annulent simultanément, donc I est contenu dans l'idéal maximal I(z).

D'accord donc,

tel que :

par **Doraki** » 31 Mar 2010, 14:19

Et ensuite, il se trouve que si tu mets les topologies de Zariski que tu connais sur ces deux trucs, I est un homéomorphisme.

par **barbu23** » 31 Mar 2010, 14:25

D'acord, merci : :happy3:
Pourquoi ,

est une droite affi ne avec

un corps ?

par **barbu23** » 31 Mar 2010, 14:48

svp, un petit coup de main ! :happy3:

par **Doraki** » 31 Mar 2010, 14:51

C'est pas la définition d'une droite affine, ça ?

par **barbu23** » 31 Mar 2010, 14:57

Doraki a écrit:C'est pas la définition d'une droite affine, ça ?

une droite affine c'est une droite vectoriel translaté par point .
Donc, comment peut on ecrire

comme somme d'un point et d'une droite vectoriel ? :hein:
Merci d'avance ! :happy3:

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