Endormorphisme et diagonalisation

[LauraLe]

Bonjour,

Je suis en 2ème année de licence de Maths et j'ai un exercice en algèbre linéaire qui porte sur les endomorphismes et la diagonalisation.

Voici l'énoncé :

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit u1,....uN des endomorphismes de E. On suppose que les ui commutent deux à deux (i.e pour tout i,j uiuj=ujui ) et sont tous diagonalisables.
Montrer qu'il existe une base de E qui diagonalise simultanément tous les ui.

Où j'en suis dans mon devoir ?

Je pense qu'il faut commencer par montrer que les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont stables par tout endomorphisme commutant avec celui-ci. mais je n'y arrive pas... Faut-il montrer que les sous-espaces propres sont en somme directe ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide et je vous souhaite une bonne journée !

Cordialement,
Laura

[Tuvasbien]

Raisonnes par récurrence sur la dimension de E, dans l'hérédité fait une disjonction de cas selon si tous les endomorphismes sont des homothéties ou s'il y en a au moins un qui n'est pas une homothétie, pour pouvoir appliquer l'hypothèse de récurrence.