Endomorphismes

[ericsteph]

Bonjour, j'ai quelque petits soucis de comprehension, d'un truc pas vraiment compliqué, il s'agit, des endomorphismes de E verifiant: f°f= IdE

en reslovant, on a f= id ou -id
bon, E= ker(f -id) somme directe ker(f+id)

pour la somme c'est clair que x= 1/2 ( (x - f(x) ) + (x+ f(x) )

comme x - f(x)=0 donc c'est la definition du ker, mais bon voila ou est parti le 1/2?! a t on le droit de l'enlever?!



aussi ca veut dire quoi l'interpretation geometrique


merci

[Maxmau]

en reslovant, on a f= id ou -id

merci

Non!
si f et g sont des endomorphismes
gof=0 n'entraine pas f = 0 ou g =0

[ericsteph]

Oups :doh: :doh: , maxmau... mais comment on resout ca alors (sachant que la premiere question disait, chercher Tous les endomorphismes qui peuvent satisfaire f°f= IdE

[Maxmau]

Oups :doh: :doh: , maxmau... mais comment on resout ca alors (sachant que la premiere question disait, chercher Tous les endomorphismes qui peuvent satisfaire f°f= IdE

Tout x s’écrit x = ½ [(x+f(x) + x-f(x)]
½ (x-f(x) est dans ker(f+I) (à cause de (f +I)o(f - I) = 0 )
Et ½ (x+f(x) est dans ker(f-I)
E est donc somme de ker(f-I) et de ker(f+I)
Je te laisse montrer que cette somme est directe
Soit x ds E . x s’écrit de façon unique x = y + z avec y ds ker(f-I) et z dans ker(f+I)
On a f(x) = f(y) + f(z) = y - z
Qu’est ce que cette application ?

[ericsteph]

bon je vois un peu que pour l'interpretation, c'est une symetrie,

MAIS tu m'as dit que:

si f et g sont des endomorphismes
gof=0 n'entraine pas f = 0 ou g =0


or moi c'est comme ca que j'ai deduit que f= id ou -id!!!!!!!!!!!!!
( (f-id)°(f+id)=0 => f=id ou - id ) si c'"est pas comme ca, alors comment on fait stp???? :cry: :cry:

[Maxmau]

Je confirme f² = I n'entraine pas f = I ou -I

Tu as conclu toi même: f²=I entraine que f est une symétrie vectorielle par rapport à F=ker(f-I) parallèlement à G=ker(f+I) (cas particulier: f= I ou -I).

Réciproquement toute symétrie vectorielle est involutive

[ericsteph]

Oui merci, mais pour la reponse a la quesiton de trouver tous les endomorsphismes de f, qui verifient f°f= IdE , est-ce que il nya que deux reponses ?! (Id et -Id) ou qu'il peut y avoir d'autre solutions????????

[abcd22]

Maxmau t'a dit que ça signifiait que f était une symétrie vectorielle par rapport à Ker(f - Id), est-ce qu'il n'y a que Id et -Id comme symétries (dans le plan par exemple) ?

[ericsteph]

euh je vois pas trop mais je pense qu'il puisse exister dans le plan d'autres symetries, :cry: corrige moi si je me trompe

mais donc, je veux savoir la reponse, sur trouver tous les endomorphismes, on dit simplement que c les endomorphismes qui verifient une symetrie????????????? :doh: ca m'a l'air une reponse bien trop abstraite, ou bien on a pas d'autres choix


aussi autre question: je ocmmence a mieux piger le truc du f°G=0 n'entraine pas f=0 ou g=0, mais quand est-ce que l'implication est vrai, dans un espace vectoriel


(PS: ou est-ce que je pourrai trouver un bon cours, sur le net sur les interpretations geometrique, je connais pour ma part que la symetrie,; je suis en prepa)

[Maxmau]

Re

Les endomorphismes f qui vérifient f o f = I sont les symétries vectorielles
Il y a I et aussi -I mais il y en a d'autres
Par exemple, dans le plan vectoriel, toute symétrie par rapport à une droire parallèlement à une autre droite vérifie bien fof=I et pourtant ce n'est ni I ni -I

[ericsteph]

Merci maxmau, mais je suis encore confus, par exemple, dans l'exemple ocncret du plan, ca veut dire quoi PARALLELLEMENT a une autre droite?!

est-ce que ca veut dire que une prend deux droite parallelle, puis on fait la symetrie d'un point quelconque, et la transformation nous donnera un autre point?! :cry:

[Maxmau]

Merci maxmau, mais je suis encore confus, par exemple, dans l'exemple ocncret du plan, ca veut dire quoi PARALLELLEMENT a une autre droite?!

est-ce que ca veut dire que une prend deux droite parallelle, puis on fait la symetrie d'un point quelconque, et la transformation nous donnera un autre point?!

Re

Il ne s'agit pas de points ici mais de vecteurs

Exemple:
Dans le plan vectoriel , 2 droites vectorielles D et
Un vecteur X du plan s’écrit X = U + V avec U vecteur de D ( on dit improprement U parallèle à D) et V vecteur de
La symétrie par rapport à D et parallèlement à ( ou de direction ) est l’application
f : X = U+V ---- > f(X) = U - V

FAIS UN DESSIN

[ericsteph]

Re, ton exemple est super, mais 'jai encore un peu de mal,

tes deux droite vectorielles, sont elles obligatoirement perpendiculaires?! doivent elles definir une base de R²?!
parce que je vois pas trop comment un vecteur quelconque peut etre la somme de deux vecteurs particuliers!!!!!!! (ou bien tu DEFINI X comme etant X= U+V) je v essayer de faire un dessin pour mieux voir

[Maxmau]

Re, ton exemple est super, mais 'jai encore un peu de mal,

tes deux droite vectorielles, sont elles obligatoirement perpendiculaires?! doivent elles definir une base de R²?!
parce que je vois pas trop comment un vecteur quelconque peut etre la somme de deux vecteurs particuliers!!!!!!! (ou bien tu DEFINI X comme etant X= U+V) je v essayer de faire un dessin pour mieux voir

Re

Elles ne sont obligatoirement perpendiculaires
En tous cas elles sont distinctes (non parallèles) ce que j'avais oublié de dire je crois. Un vecteur directeur de l'une et un vecteur directeur de l'autre forment une base du plan