Endomorphismes

[ericsteph]

Salutations,

je bloque sur une question, qui me parait simple,

trouver les endomorphismes de E (un e v de dimension n) qui verifient

f°f= IdE

[Joker62]

Un Polynôme annulateur est P(X) = X^2 - 1 = (X-1)(X+1)
Distinction de cas.
Après le reste, ça se trouve dans le cours.

[ericsteph]

Pardon? polynome annulateur, d'un endomorphisme, j'ai jamais entendu parler de ca, est-ce que tu peux me donner l'idée générale?!

[leon1789]

Salutations,
je bloque sur une question, qui me parait simple,
trouver les endomorphismes de E (un e v de dimension n) qui verifient
f°f= IdE

Bonjour,

Connais-tu une application (celle que tu veux ! oublie l'algèbre linéaire pour l'instant) qui,
lorsque tu "en mets deux coups" de suite, fait revenir à la position de départ ?

[ThSQ]

Je pense qu'il veut dire que ton endo est diagonalisable et que le reste en découle

[sclormu]

Si tu ne sais pas ce que veut dire polynôme annulateur ni endomorphisme diagonalisable, tu peux toujours essayer à la main de traiter le cas n=2. Et si c'est trop dur le cas n=1. :++:

[yos]

Tu peux montrer directement que . Et en déduire la nature géométrique de f.

[ericsteph]

euh, je suis un peu bloqué et confus,

E= ker(f- iD) + ker(f + id)????????? deja comment montrer ca?!


de mon expression, jai f² - id= 0 c a d (f - id) (f+id)=0 puis?!

et comment deduire la nature geometrique?!


[ je ne me interessé" qu'à la diagonalisation des matrice, pour les endomorphismes, est-ce les memes procédés?!]

[ThSQ]

E= ker(f- iD) + ker(f + id)

C'est le lemme des noyaux : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_noyaux

[nuage]

Salut,
une autre approche :
Les solutions sont ce que l'on appelle des symétries.

Tu considères les éléments de E tels que f(x)=x. Par exemple f(0)=0.
Il est assez facile de montrer qu'ils forment un sev F de E.

Ensuite tu considères les éléments de E tels que f(x)=-x. Par exemple f(0)=-0.
Il est assez facile de montrer qu'ils forment un sev G de E.

Il ne reste plus qu'a voir que F et G sont supplémentaires.
On peut par exemple calculer f(x-f(x))

[ericsteph]

oui, j'ai compris votre approche,

bon c'est que, f(x)= x, et f(x)= -x, verifient les relations, mais est-ce qu'il n'ya pas d'autres, endomorphismes, ?! comment peut on veirfier que ces duex la sont les seuls?!


[ merci pour le lemme des noyaux, ca eclaircit les choses, mais c'est koi l'interpretation geometrique, SVP]

[yos]

montrer directement que .

Si tu ne veux pas utiliser un théorème que tu connais pas.
La somme vient de l'égalité .
Le fait qu'elle est directe vient de l'intersection : entraîne...

[ericsteph]

oui cette idée me convient, mais c'est quoi l'interpretation géometrique?!

[nuage]

Pour l'interprétation géométrique :
On a 2 sous espaces supplémentaires de E. Disons F et G.
Tout élément x de E s'écrit de façon unique sous la forme x=y+z avec y dans F et z dans G (y en a pas (de danger)).
La symétrie s par rapport à F parallèlement à G associe à x= y+z le vecteur s(x)=y-z.
Et tous les automorphismes de E vérifiant fof=Id sont de cette forme.

[ericsteph]

Pardon, j'ai pas compris la fin, les automorphismes, f°f= Id, sont de la forme s(x) = y - z?!

[Antho07]

Montre dans un premier temps que:

fof=Id equivaut à



(des pistes ont ete propose dans les post precedent pour ceci)

Apres si on note



chaque élement x de E se décompose de maniere unique comme

x=y+z avec y dans F et z dans G


comme y est dans F, (f-IdE)(y)=0 f(y)-y=0 f(y)=y
comme z est dans G, (f+IdE)(z)=0 f(z)+z=0 f(z)=-z


par consequent

f(x)=f(y+z)=y-z.

Donc si on prend une base de F et une base de G. L'union des 2 forment une base de E.
et la matrice de f dans cette base est


Bon jai foirer ma matrice.... :hum:

En gros tu obtient la matrice bloc



ou p est la dimension de F
q est la dimension de G

Cette matrice est une symetrie par rapport a F (les vecteur inchangés) parralement à G(les vecteurs qui chagent de signe)

je sais pas si c clair??

[ericsteph]

Mon dieu, c hyper clair miantenant, merci anton!!!!!