Endomorphisme et noyau

[ayla8101]

Bonjour à tous,
Je bloque sur un exo de maths pr demain et vos indications me seraient d'un grand secours!
Voila l'énoncé:
soit B une matrice de E= Mn(R) (matrice n colonnes)
et f l'application définie pout tout M appartient à E par f(M)=MB-BM
(f est un endomorphisme)
=> Il faut mq pour tout k appartient à N, B^k appartient à Ker f, et en deduire que pour tout P appartenant à l'ensemble des polynomes R[X], P(B) appartient à Ker f.

Si vous avez des idées, n'hésitez pas! Merci

[fahr451]

bonsoir

f (B^k) =B^k B - BB^k = B^(k+1) - B^(k+1) = 0

donc B^k est dans Ker f

pour P un polynôme

P = sigma akX^k donc

P(B) = sigma a k B^k

et f étant linéaire
f(P(B) ) = sigma ak f (B^k) = sigma ak 0 = 0

[ayla8101]

Merci bcp
Jai une autre question sur cet exo, je l'ai posté sur un nouveau sujet.