Noyau et image d'un endomorphisme

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matthieu45
Membre Naturel
Messages: 79
Enregistré le: 24 Mai 2006, 19:08

Noyau et image d'un endomorphisme

par matthieu45 » 15 Sep 2007, 13:36

Bonjour,
je voulais savoir si j'ai juste :
on considere l'ev R^n, muni de la base canonique B=(e1, ..., en). et U la matrice carrée d'ordre n dont tous les coeffs sont égaux à 1.
u l'endomorphisme dont la matrice dans B est U. on pose p1=(1/n).u

on me demande de prouver que p1 est un projecteur. ca c'est fait. puis de déterminer Ker p1 et Im p1.
Pour Ker p1 : cela équivaut à chercher les x tel que u(x)=0, et donc matriciellement à résoudre UX=0 en prenant X la matrice colonne des vecteurs de X appelés x1, ..., xn. je trouve que somme des xk (de k=1 à n) = 0
Mais alors Ker p1 qu'est ce que c'est ? ce sont les x tels que la somme des xk est nulle ?



Pour Im p1, on a p1(x)=(1/n).u(x) mais après j'en conclus quoi ? que u(x) appartient à R^n et donc Im p1 inclus dans R^n. ???


Merci d'avance de votre aide.



fahr451
Membre Transcendant
Messages: 5144
Enregistré le: 05 Déc 2006, 23:50

par fahr451 » 15 Sep 2007, 13:40

bonjour

ker p est exactement ce que tu dis on peut s 'arrêter là ou en donner une base

notamment regarder la dim ...


pour Im p la famille des( p(e1) ,...p(en) ) est génératrice

ici ça va pas être trop dur d'en extraire une base ...

 

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