Déduire le noyau et l'image d'un endomorphisme de sa matrice

[Wenneguen]

Bonjour,

je dois trouver le noyau et l'image de l'endomorphisme f défini par f(P) = P - X.P' grâce à sa matrice.
Voilà ce que j'ai trouvé comme matrice :



Mais je n'ai pas de méthode très précise pour en déduire le noyau et l'image de f. Le noyau j'aurais bien envie de dire {0} mais comment en être sûr et comment le prouver ? Et que faire pour l'image ?

Merci !

[Nightmare]

Hello,

encore une fois, il faut que tu reviennes aux définitions. Qu'est-ce que le noyau d'une matrice? Qu'est-ce que l'image?

:happy3:

[Wenneguen]

Ok le noyau est bien réduit à 0, on peut le montrer avec un " système " résolu immédiatement.
L'image c'est Vect(C1, C3, ..., Cn+1) avec Ci la ième colonne de la matrice, or il est clair que cette famille de vecteurs est libre, ces vecteurs étant au nombre de n on en déduit que l'image de f est Kn-1[X].

J'ai bon ? :D

[Nightmare]

A priori ça me va, mais la façon dont ta matrice est écrite me met le doute. Ta diagonale, c'est vraiment la diagonale ou c'est une diagonale supérieure? En particulier, que signifient ton 1 0 de la première ligne?

[Wenneguen]

Oui j'ai un doute sur ma matrice aussi. La diagonale c'est une diagonale supérieure ! Le coefficient 1ère ligne 1ère colonne est un 1, le coefficient 1ère ligne deuxième colonne est un 0. J'ai l'impression que j'ai une colonne en trop ou un truc comme ça non ?

[Nightmare]

Tu as juste mal placé le 0 de la seconde colonne, il doit être aligné avec la diagonale.

[capitaine nuggets]

Je suis d'accord avec le fait que si est le polynôme nul alors ce polynôme nul appartient bien à .
Toutefois, si je raisonne ainsi :

La matrice M de f dans la base (1,X,X^2, ... , X^n) étant :
.
Par suite :
.
L'égalité "" me pose problème pour déterminer

[Doraki]

Pourquoi quand tu cherches à décrire la condition "P est dans ker f" tu obtiens un truc qui ne dépend pas de P ? Là puisque le polynôme nul est dans ker f, t'es en train de dire que 0=1 et donc t'as tout cassé.

[Wenneguen]

Tu as juste mal placé le 0 de la seconde colonne, il doit être aligné avec la diagonale.

Oui exact, merci