S.e.p d'un endo d'un esp euclid

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antoine3617
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s.e.p d'un endo d'un esp euclid

par antoine3617 » 20 Déc 2006, 23:48

bonsoir,

pouvez-vous m'aider svp ?
voici les données d' un exercice d'algèbre:

soit E un espace vectoriel euclidien de dim n>=2 sur R;
Dans tout le problème, on suppose donnés deux sous-espaces E1 et E2 de E dont E est somme directe orthogonale, de dimensions respectives non nulles p et n-p.
0n suppose données des bases orthonormales B1=(e1,e2,...ep),B2=(e(p+1),e(p+2),...,en)de E1 et E2 dont la réunion B fournit une base orthonormale de E.
On désigne par I1,I2,I les applications identiques de E1,E2 et E et par les mêmes symboles les matrices-unités associées.

On suppose données une application linéaire f de E1 dans E2 et une application linéaire g de E2 dans E1 telles que pour tout couple (x1,x2) d'éléments de E1 et E2
=
L'objectif du problème est détudier l'endomorphisme K de E qui à tout élément x de E écrit sous la forme x=x1 + x2 où x1 appartient à E1 et x2 appartient à E2 associe
K(x)=k* x1 + f(x1) + g(x2)
où k est un nombre donné

voici les premiers résultats trouvés
j'ai déterminé la matrice de g en fct de celle de f puis la matrice de K.
ensuite, on a montré que :
ker f=intersection de (Im g)(orthogonale) avec E1
ker g=intersection de (im f)(orthogonale) avec E2

voici la question :
prouver que l'injectivité de f équivaut à la surjectivité de g, et que dans ces conditions p<= n-p

P.S: je peux envoyer le sujet par mail si vous désirez plus d'informations et/ou plus de clarté.

merci par avance



fahr451
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par fahr451 » 21 Déc 2006, 09:27

si f injective kerf = {0} et l ortho est E donc ker g = E2 er rg(g)= dim E1 donc g surjective

antoine3617
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par antoine3617 » 21 Déc 2006, 11:51

ok pour la réponse.
comment en déduire que p<=n-p ?

ensuite, ils me demandent d'énoncer des résultats analogues pour ker g et im f.
je peux dire assez immédiatement que E2 est somme directe de ker g et Im f
mais ça fait qu'un résultat...

fahr451
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par fahr451 » 21 Déc 2006, 12:34

si f est injective rg f = dim E1 or rg f =< dim E2 donc dimE1=f et g jouant des rôles symétriques on a les mêmes résultats en inversant p et n-p

antoine3617
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par antoine3617 » 21 Déc 2006, 14:04

ok
lorsque k=0 est-ce que ker K=intersection de ker f et de ker g ?

lorsque k différent de 0 .comment déterminer le noyau de K ?
méthode proposé: pour cela, on considérera un élément x de ker K écrit sous la forme x=x1 +x2 et on prouvera que x1 appartient à l'intersection de ker f et im g

fahr451
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par fahr451 » 21 Déc 2006, 14:06

ok........

antoine3617
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par antoine3617 » 22 Déc 2006, 15:14

bonjour,

est-ce que Ker K=intersection de ker f et ker g ?

fahr451
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par fahr451 » 22 Déc 2006, 15:19

pour k = 0 x est ds ker K ssi x1 est ds ker f et x2 ds kerg

antoine3617
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par antoine3617 » 24 Déc 2006, 16:14

est-ce que cela signifie que ker K=réunion de ker f et ker g ?

fahr451
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par fahr451 » 24 Déc 2006, 16:17

non somme ; l union est à bannir en algèbre linéaire

antoine3617
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par antoine3617 » 24 Déc 2006, 16:27

et pour k different de 0, je ne vois pas.
J' ai cette indication : on considèrera un élément de ker K écrit sous la forme x=x1 +x2 et on prouvera que x1 appartient à l'intersection de ker f et Im g.
on a prouvé auparavant que ker f et Im g sont en somme directe orthogonale,
donc normalement l'intersection est vide....

fahr451
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par fahr451 » 24 Déc 2006, 17:37

n'ayant obtenu que des "ok" en retour je m abstiendrai de dire qu'un sev n est jamais vide

antoine3617
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par antoine3617 » 26 Déc 2006, 14:00

bonjour,

désolé.en effet, j'ai constaté que j'ai été un peu "froid" au cours de cette discussion.Sache en tout cas que je te remercie vraiment beaucoup pour ton aide fahr451, cela m'aide à raccrocher aux problèmes et à ne pas abandonner (c'est parfois pas évident quand on butte dès le début d'un long problème et qu'on ne peut avancer!!)
Cela fait toujours plaisir de voir des volontaires prêt à aider comme cela,j'en suis vraiment reconnaissant.merci encore.a + .

fahr451
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par fahr451 » 26 Déc 2006, 14:02

je t'en prie; au revoir.

antoine3617
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par antoine3617 » 27 Déc 2006, 14:08

bonjour,

voilà la suite de mon problème qui me pose des difficultés.Cette partie s'intitule "valeurs propres et vecteurs propres de gof et fog "

pour tout nombre x on note
Ux= ker ( x I1 - gof)
Vx= ker (x I2 - fog)
Fx=ker (x I - K)
on demande d' indiquer des propriétés des valeurs propres et des sous-espaces propres Fx de K ??
Je ne vois pas comment partir
merci par avance

 

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