Endo bijectif ?

[Cryptocatron-11]

BJ,

Est ce que la fonction f (endo de E dans E) associé à cette matrice relativement à une base B , est bijective ?

J'aurais dit non vu que le noyau n'est pas réduit à zéro.

Mais pour que ce soit bijectif, il faut que la dim (im f) soit égal à dim E ?

[gdlrdc]

Tu connais le théorème du rang en dimension finie?

[saylormoon]

rgMAT=1 toutes les colonnes sont identique different de 3 donc non bij
ou determinant nul avec développement saruss donc non inversible endomorphisme non bijectif

[saylormoon]

rgMAT=1 toutes les colonnes sont identique different de 3 donc non bij
ou determinant nul avec développement saruss donc non inversible endomorphisme non bijectif

t'es dexu affirmations sont justes et repondent au pbm

[cdav]

BJ,

Est ce que la fonction f (endo de E dans E) associé à cette matrice relativement à une base B , est bijective ?

J'aurais dit non vu que le noyau n'est pas réduit à zéro.

Mais pour que ce soit bijectif, il faut que la dim (im f) soit égal à dim E ?

bien joue le noyau pas reduit a 0 donc non injectif car f lineaire....

[Nightmare]

Salut,

invoquer le rang ou la dimension me semble étrangement compliqué :

La matrice nous donne directement que f(e1)=f(e2), donc f n'est pas injective.

[saylormoon]

Salut,

invoquer le rang ou la dimension me semble étrangement compliqué :


La matrice nous donne directement que f(e1)=f(e2), donc f n'est pas injective.

oui c'était très dure, je m'y suis mis a 6 heure ce matin je t'avourai que j'ai même douté un instant..... n'abusons tout de même pas mr

[Cryptocatron-11]

En gros , vu comme j'ai compris mon cours , bah j'ai ça dans la tête :

Soit f une AL entre deux ensembles et définie par f:= E -> F , Alors il faut que f(E)=im f = F pour que ce soit bijectif.

Mais j'ai peur de partir sur du faux.

[Nightmare]

C'est tout à fait vrai, mais ce n'est pas la définition de la bijectivité, ce n'est qu'une propriété.

La définition de bijectif est : Injectif + surjectif, et cela se traduit par :

Injectif : f(x)=f(y) => x=y
Surjectif : Tout élément de Im(f) a un antécédent par f.

L'injectivité est immédiatement mise en défaut puisque f(e1)=f(e2)=f(e3)=(1,1,1) sans que e1=e2=e3.

[newman]

Nightmare, je me permets de rectifier au cas où une personne découvre la surjectivité :c'est tout élément de F (un élément de Im(f) a automatiquement un antécedent)

[Nightmare]

Tout à fait, merci.

[Cryptocatron-11]

C'est tout à fait vrai, mais ce n'est pas la définition de la bijectivité, ce n'est qu'une propriété.

La définition de bijectif est : Injectif + surjectif, et cela se traduit par :

Injectif : f(x)=f(y) => x=y
Surjectif : Tout élément de Im(f) a un antécédent par f.

L'injectivité est immédiatement mise en défaut puisque f(e1)=f(e2)=f(e3)=(1,1,1) sans que e1=e2=e3.

Mais si on arrive à montrer que c'est inj (pas le cas dans mon ex) , alors c'est bijectif ? pas besoin d'aller chercher la surj

[Nightmare]

On ne montre pas que c'est injectif, on montre justement que ça ne l'est pas, donc que l'endo ne peut être bijectif.

[Cryptocatron-11]

OK . Je viens d'avoir une idée pour montrer qu'un endo est bijectif, on regarde si les vecteurs colonnes de la matrice sont libres et s'ils sont libres alors c'est bijectif car ils forment une base.

[Nightmare]

Oui, encore une fois, pourvu qu'on soit en dimension fini, sinon, tu peux juste dire que ton endo est injectif.

Cela dit, ce qu'il est important de comprendre, c'est le rapport entre toutes ces notions linéaires (le théorème du Rang, la liberté des familles etc.) et la bijectivité, qui a priori n'a rien de linéaire.