Utilisation de la preuve d'euclid pour démontre pn<= 2^2^n-1

[MastoMP]

Bonjour à tous, j'aurais beosin d'aide pour l'exercice suivant :
soit (pn)n>=1 la suite croissante des nombres premirs,
montrez que pour tout n>=1 , pn<= 2^2^n-1

voila ou j'en suis :
démontrons que Pn+1 <= 2^2^n

on sait que Pn+1 <= p1p2...pn + 1
<=> Pn+1 <= (2^2^1 * 2^2^2 * .... * 2^2^(-1) ) + 1
<=> Pn+1 <= 2^(2^1+2^2+...+2^n-1) + 1

ensuite je suis bloque, je sais qu'il faut que j'arrive à
2^(2^1+2^2+...+2^n-1) + 1 <= 2^2^n
mais je ne sais pas comment faire

[Pseuda]

Tu peux montrer que : 2^1+2^2+... +2^(n-1) = 2^n - 2

[MastoMP]

Tu peux montrer que : 2^1+2^2+... +2^(n-1) = 2^n - 2

je ne vois pas comment faire

[Pseuda]

Somme des termes d'une suite géométrique.

Ou encore : tu peux multiplier la somme 2^1+2^2+... +2^(n-1) par (2-1).

[MastoMP]

AAH d'accord, merci beaucoup
du coup j'ai :
Pn+1 <= 2^(2^1+2^2+...+2^n-1) + 1
Pn+1 <=2^2*(1-2^(n-1))/1-2 +1
Pn+1 <= 2^(2n-2)+1
Pn+1 <= 2^2n * 2^-2 + 1
Pn+1 <= 2^2n * 0.25 + 1

démontrons que 2^2n * 0.25 + 1 <= 2^2n
<=> 1<= 2^2n - 2^n * 0.25
<=> 1<= 2^2n (0.75)
or 2^2n est une suite croissante avec n>= 1 car 2^2n<2^(2n+1)
donc le plus petit terme de la suite est 2^2^1 = 4
or 4*0.75 >= 1
on en déduit que 2^2n * 0.25 + 1 <= 2^2n
donc Pn+1 <= 2^2n

je pense que je n'ai pas fait d'erreur
en tout cas merci beaucoup Pseuda, je bloquais depuis plus d'une heure sur cette exercice alors que mes camarades m'ont dit que c'était très facile, j'ai l'impression de ne pas avoir le niveau ... Mais bon, j'espère que ce n'est qu'une impression...

[zygomatique]

salut

ça me semble pas clair ... confusion entre puissance et produit ...

comment sais-tu que

on sait que Pn+1 <= p1p2...pn + 1

[MastoMP]

Je pense que c'est Euclide qui le dit

[zygomatique]

ben j'aimerais bien voir ça ....

ensuite comme je l'ai dit l'énoncé n'est pas clair ...

2^2^n - 1 = 4^n - 1 est différent de 2^(2^n) - 1 ....

[Matt_01]

n'est divisible par aucun des avec .
Il est donc divisible (ou en fait égal) par un avec .
Donc

[Pseuda]

Bonsoir,

Ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... s_premiers

on sait que Pn+1 <= p1p2...pn + 1
<=> Pn+1 <= (2^2^1 * 2^2^2 * .... * 2^2^(-1) ) + 1
<=> Pn+1 <= 2^(2^1+2^2+...+2^n-1) + 1

Petite erreur là : c'est : Pn+1 <= (2^2^0 * 2^2^1 * .... * 2^2^(n-1) ) + 1 ; le reste s'en trouve plus facile.