Problème de réduction d'endo

[Tommy book]

Bonjour,

je cherche un problème d'algèbre et je bloque à partir d'une question.
Voici l'énoncé :

E un C-espace vectoriel de dimension finie n>0, f un endomorphisme de E

1) Soit P un polynôme annulateur de f de la forme P=(X-y)Q, où Q est un polynôme et y un complexe.
Montrer que si y n'est pas une valeur propre de f, alors Q est un polynôme annulateur de f.
Montrer qu'il existe un polynôme Q de C(X) annulateur de f telle que toute racine de Q est une valeur propre de f.
Soit y appartenant à C, y valeur propre de f. Montrer qu'il existe un hyperplan F de E contenant Im(f-yId), où Id est l'identité de E.

J'ai fait réussi cette question.

2) montrer que la restriction de f à F est un endomorphisme de F.

J'ai aussi réussi cette question.

3) Montrer par récurrence sur n, que tout endomorphisme E admet une base dans laquelle la matrice associée est triangulaire supérieure.

Je ne vois pas du tout comment faire cette récurrence. :mur:

Voilà, merci de m'aider

[Ben314]

Pour n=1, il n'y a rien à dire (toutes les matrices 1x1 sont triangulaires supérieures !!!)
Ensuite, tu suppose que c'est vrai pour un entier n-1>=1 donné et tu considère un endomorphisme de E où E est de dimension n.
Tu applique ce que tu as montré au dessus et, comme l'hyperplan F est de dimension n-1, tu utilise l'hypothèse de récurence sur la restriction de f à F : il existe une base de F telle que...
Tu n'a plus qu'à compléter ta base de F (en ajoutant un unique vecteur) pour en faire une base de E et à regarder quelle va être la matrice de f dans cette base.

[Tommy book]

Pour n=1, il n'y a rien à dire (toutes les matrices 1x1 sont triangulaires supérieures !!!)
Ensuite, tu suppose que c'est vrai pour un entier n-1>=1 donné et tu considère un endomorphisme de E où E est de dimension n.
Tu applique ce que tu as montré au dessus et, comme l'hyperplan F est de dimension n-1, tu utilise l'hypothèse de récurence sur la restriction de f à F : il existe une base de F telle que...
Tu n'a plus qu'à compléter ta base de F (en ajoutant un unique vecteur) pour en faire une base de E et à regarder quelle va être la matrice de f dans cette base.

Merci beaucoup

[Tommy book]

Bonjour, je continue à bloquer sur le reste de l'exercice :

3°) Soit a1, a2, a3, ... ap p complexes distincts. Justifier l'existence de polynômes Qi tels que, pour i appartenant à (1;p), :

Qi (aj) = ai si i=j

ou Qi (aj) = 0 si i différent de j.

et Qi (0) =O


En utilisant le polynôme de Lagrange, on a les deux premières conditions, mais pas Qi (0) = 0

4°) On suppose dans cette question que la matrice M de f dans une base B de E est telle, que pour tout k de N*, tr(M^k) = 0.

i. Soit P appartenant à C(X) tel que P(0)=0. On note y1, y2, ... yp les valeurs propres de f.
Montrer qu'il existe p entiers naturels non nuls mi, i appartenant à (1;p), indépendants des P, tels que :
la somme de i = 1 à i = p, des mi P(yi) = 0.

merci de m'aider, ne serit-ce que pour la 3)

[Ben314]

3) Ca reste quand même des "polynômes de Lagrange", le 0 ne joue pas un rôle particulier là dedans.
Pour i fixé, le polynôme Qi doit annuler en 0 et en les aj, (j différent de i) donc il est obligatoirement de la forme :
Qi(X)=X(X-a1)(X-a_2)...(X-ap)R(X) où dans le produit, tu met tout les X-aj SAUF X-ai.
Et le polynôme R est quelconque. Pour qu'en plus Qi(ai)=a_i, il suffit que R(ai)=un truc
Et comme on veut pas se faire c... on prend en général R=cst=le truc en question.

Remarque Si on veut êrte "super tatillon", il faut jeter un petit coup d’œil à ce qu'il se passe si l'un des ai est nul (l'énoncé précise qu'il sont distincts mais pas non nuls) mais ça marche quand même...

4) A mon avis, le plus simple est d'utiliser la question 3) de ton premier post :
Si f est l'endomorphisme de matrice M (dans a base canonique B par exemple), tu sait qu'il existe une base B' telle que la matrice T de f dans B' est triangulaire supérieure.
Je pense que tu as vu que tu as vu que la notion de "trace" (comme celle de déterminant) peut s'appliquer à des endomorphismes, c'est à dire que, dans le cas présent, comme M et T sont toute les deux des matrices de f (dans des bases différentes), elles ont même traces.
De même, M^k et T^k ont même trace vu que ce sont des matrices de fofo...of (k fois).
Après, les valeurs que tu as sur la diagonale de T, ce sont les .... de M.
Et quand tu élève une matrice triangulaire à la puissance k, c'est super facile de voir qui il va y avoir sur la diagonale, donc combien vaut la trace.
Tout ça fait que le fait que les traces des M^k sont toutes nulles te donne immédiatement des formules concernant les yi et ça te permet de faire la suite.

Indic : les mi, c'est pas des nombres bien compliqués...

[Tommy book]

Oui, tu as raison, pour que Qi(0)=0, il suffit de faire le polynôme de Lagrange multiplié par X.

on a donc Qj = X x le produit des (X-ai)/(aj-ai) pour i allant de 1 à p sans être égal à j.


Et pour la 4 tu recommandes d'utiliser quelle question?

[Ben314]

Je viens de rallonger mon post précédent...

Attention aussi au fait qu'on a pas supposé que le polynôme caractéristique de M était "scindé" (ça se voit dans l'énoncé du fait qu'il dit qu'il y a p valeurs propres alors qu'on est en dimension n)
Donc il risque d'y avoir des valeurs propres multiples...