Encadrement exponentiel

[jeremy58]

bonjour,
je dois montrer par récurrence que pour tout x de [0,1] et tout n de N*, on a
0
Je suis arrivé a montrer au rang n=1 que cette relation était vraie en etudiant 2 fonctions par contre je n'arrive pas a prouver cela au rang n+1, pourriez-vous m'aider?
Merci beaucoup

[alavacommejetepousse]

bonjour

es tu sûr de ton encadrement

n'est ce pas x^(n+1) /(n+1)! plutôt à droite

ou ce qui est la même chose x^(n-1) /(n-1)! le dernier terme de la somme ?

[fatal_error]

Bonjour,

ya surement une boulette dans l'énoncé,
si on tente la vérif a n=1,
on a exp(x)-1+x-x=exp(x)-1>0 <=>exp(x)-1+x>x

[nuage]

Salut,
à mon avis il faut démontrer que :

avec la condition bien entendu.

[alavacommejetepousse]

bonjour nuage

tiens j'avais même pas vu le problème des signes
la dernière puissance me semble suscepte cependant (l 'inspecteur mène l'enquète pour avoir un énoncé correct)

[nuage]

Salut alavacommejetepousse
pourtant c'est bon.
Pour la récurrence une intégration s'impose.

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

Soit x > 0

si f et g sont de classe C1,

entraine en intégrant:



On intégre n fois de suite les inégalités
pour
et
pour
en n'oubliant pas de changer x en t entre deux intégrations successives.

[jeremy58]

Oui desolé j'ai fait une erreur de signe, il faut donc montrer par récurrence que

pour tout x de [0,1] et tout n de N*, on a
0

Mais sinon il n'y a pas d'autre erreur, a part si c'est une erreur d'énoncé.
Merci pour vos reponses, mais cela me parrait assez compliqué de passer par les integrales.

[nuage]

[jeremy58]

Merci beaucoup, cela fonctionne tres bien mais je n'y aurait jamais pensé.
Ensuite j'ai une autre question, on me demande de montrer que si x appartient à ]0,1] alors les inégalités précédentes sont strictes.

Faut-il reprendre toute la récurrence en supposant x appartient à ]0,1]?

[nuage]

Salut,

Merci beaucoup, cela fonctionne tres bien mais je n'y aurait jamais pensé.
Ensuite j'ai une autre question, on me demande de montrer que si x appartient à ]0,1] alors les inégalités précédentes sont strictes.

Faut-il reprendre toute la récurrence en supposant x appartient à ]0,1]?

je pense que oui, mais, à priori, il ne doit pas y avoir de difficultés.