Exponentiel de matrice (algebre)

par **juve1897** » 02 Sep 2007, 18:20

Bonsoir,

je n'arrive pas à appliquer de méthodes, ni même trouver une manière correcte de calculer un exponentiel de matrice.

En cours on nous a appris à déterminer un polynôme caractéristique, un poly minimal, trouver des valeurs et vecteurs propres, sous espaces caractéristiques ect...

Puis on nous "balance" la décomposition de Dunford qui dit:
Si le polynôme caractéristique d'une matrice A est scindé on peut écrire:
A= D + N
où D est une matrice diagonalisable et N nilpotente avec DN = ND

Puis nous avons vu aussi que e^N = Id + N +N^2/é + ... + N^k/k! (avec K degres de nilpotence )

et que e^D = e^ élément de la diagonale

Mais lorsque j'essaye d'appliquer les différents théorèmes, je ne trouve jamais le bon résultat.

Est ce que qqun pourrait me donner une bonne méthode pour déterminer D et N
ou bien calculer simplement un exponentiel de matrice.

Merci ;)

par **Joker62** » 02 Sep 2007, 18:27

Ben la méthode c'est diagonialiser...
Ou trigonaliser avec la décomposition de Dunford...

Remarque : l'exponentielle d'une matrice se fait d'une façon très naturelle en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentiel.

par **juve1897** » 02 Sep 2007, 19:02

Joker62 a écrit:Ben la méthode c'est diagonialiser...
Ou trigonaliser avec la décomposition de Dunford...

Remarque : l'exponentielle d'une matrice se fait d'une façon très naturelle en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentiel.

Merci,

mais en quoi diagonaliser pourrait m'aider ???

A t'on le droit dans ce cas d'ecrire

A = P^-1 D P exp(A) = P^-1 exp(D) P

Et admettons que la matrice ne se diagonalise pas, je fais comment pour trigonaliser ???

Il me semble que lorsqu'on à une valeur propre de multiplicité supérieure à 1 et
qu'en cherchant les vecteurs propres associés on se rend compte que la matrice n'est pas diagonalisable (pas assez de vecteur pour formé une base); on complète ensuite arbitrairement pour obtenir une base, ensuite on détermine la matrice de passage à travers cette base et puis enfin on obtint une matrice triangulaire, si ce n'est pas le cas, on essaye de compléter avec d'autres vecteurs.
Maintenat que j'y pense ne doit-on pas compléter la base en cherchant l'espace propre de Ker(A-lambda.I)^n (n étant la multiplicité de la valeur propre).

par **quinto** » 02 Sep 2007, 19:05

juve1897 a écrit:Merci,

mais en quoi diagonaliser pourrait m'aider ???

A t'on le droit dans ce cas d'ecrire

A = P^-1 D P exp(A) = P^-1 exp(D) P

Tu as toujours le droit de l'écrire, maintenant rien ne dit que ce sera vrai ...

Est-ce que c'est vrai en remplacant exp(A) par A^n pour n'importe quel n ?

Conclusion ?

par **juve1897** » 02 Sep 2007, 19:08

Pour A^n on obtient :
A^n = P^-1.D^n.P
Mais je n'en conclue pas grand chose.

par **quinto** » 02 Sep 2007, 19:09

Bein quelle est la définition d'une exponentielle de matrice ?

par **juve1897** » 02 Sep 2007, 19:16

Je ne suis pas sur mais je pense que lorsque l'on diagonalise une matrice A, pour calculer exp(A) :

exp(A) = P^-1.exp(D).P , sachant que exp(D) facile à calculer.Mais je ne suis pas sur de ce resultat, de plus il me semblequ'il faille utiliser la décomposition de Dunford dont j'ignore le fonctionnment.

par **fahr451** » 02 Sep 2007, 19:44

bonsoir

une petite révision s 'impose non ?

partir du simple pour (éventuellement arriver au compliqué)

1) définition : exp A = sigma A^n /n! la convergence étant normale

2)si A est diagonalisable A = P DP^(-1)

donne pour tout n : A^n = PD^(n) P^(-1)

d'où par sommation et passage à la limite

exp (A) = Pexp(D) P^(-1) (dunford n'est pas nécessaire)
avec si D = diag (l1,...,lp) exp D = (exp l1 , ....exp lp)
oui non ?

par **juve1897** » 02 Sep 2007, 19:48

Oui, merci.
Encore deux questions :

1. Est-ce-que mon paragraphe sur la trigonalisation est juste?
2. Comment et quand on utilise la décomposition de Dunford?

Merci.

par **juve1897** » 03 Sep 2007, 16:05

Désolée d'insister mais j'amerais vraiment avoir réponses à mes deux questions precedentes :

juve1897 a écrit:
1. Est-ce-que mon paragraphe sur la trigonalisation est juste?
2. Comment et quand on utilise la décomposition de Dunford?

Merci.

Car je suis un peu confuse sur la trigonalisation.
Merci.

par **fahr451** » 03 Sep 2007, 17:09

peux tu réexprimer ce que tu écris sur la trigonalisation ?

par **sandrine_guillerme** » 03 Sep 2007, 18:34

juve1897 a écrit:Et admettons que la matrice ne se diagonalise pas, je fais comment pour trigonaliser ???

Il me semble que lorsqu'on à une valeur propre de multiplicité supérieure à 1 et
qu'en cherchant les vecteurs propres associés on se rend compte que la matrice n'est pas diagonalisable (pas assez de vecteur pour formé une base); on complète ensuite arbitrairement pour obtenir une base, ensuite on détermine la matrice de passage à travers cette base et puis enfin on obtint une matrice triangulaire, si ce n'est pas le cas, on essaye de compléter avec d'autres vecteurs.

Bonjour !
C'est bon pour les séries ?( t'as pris l'habitudes ?)

ce que tu as dis à propos de la trigonalisation m'a l'air tout juste!
sauf

juve1897 a écrit:Maintenat que j'y pense ne doit-on pas compléter la base en cherchant l'espace propre de Ker(A-lambda.I)^n (n étant la multiplicité de la valeur propre).

mais ça j'ai pas vraiment compris,
tu parles peut être de la réduite de Jordan et de la recherche des sous espaces caractéristiques ?

par **juve1897** » 03 Sep 2007, 18:40

Alors, tout d'abord lorsque l'on cherche les valeurs propres et que l'on trouve qu'une des d'entre elles et double ou triple ( ou plus).
On cherche l'espace propre associé à cette valeur propre multiple, si on ne trouve pas suffisament de vecteur pour engendrer cette espace propre, c'est que la matrice n'est pas diagonalisable.

Que doit-on faire à ce moment là?

Doit-on compléter de manière arbitraire le ou les vecteurs que l'on a trouver de manière à avoir une base.

Ou doit-on chercher
Ker(M - lambda*Id)^2, puis si on obtient toujours pas suffisament de vecteurs
Ker(M - lambda*Id)^3 ... Ker(M - lambda*Id)^n.

Puis ensuite trigonaliser la matrice.

par **juve1897** » 03 Sep 2007, 18:47

sandrine_guillerme a écrit:
mais ça j'ai pas vraiment compris,
tu parles peut être de la réduite de Jordan et de la recherche des sous espaces caractéristiques ?

Oui c'est bien cela. Mon probleme est de trouver le sous-espace caratéristique d'une valeur propre double ou triple par exemple d'une matrice non-diagonalisable.

par **sandrine_guillerme** » 04 Sep 2007, 12:31

Deux choses à savoir :

1. L'espace vectoriel ambiant peut s'écrire comme somme directe des sous espaces caractéristiques de ton endomorphisme (appelons-le A). On peut donc se restreindre à chacun de ces sous espaces.
2. Dans chaque sous espace, par définition, A = lambda Id + N, où N est nilpotente. Et les endomorphismes nilpotents sont trigonalisables (il suffit de prendre une base De Ker N, puis de compléter par une base de Ker N^2 ...puis de compléter par une base de Ker N^n).

Suis je claire ? !

par **Joker62** » 04 Sep 2007, 12:40

En gros renseigne toi du côté du Lemme des Noyau.

par **juve1897** » 04 Sep 2007, 13:00

sandrine_guillerme a écrit: Et les endomorphismes nilpotents sont trigonalisables (il suffit de prendre une base De Ker N, puis de compléter par une base de Ker N^2 ...puis de compléter par une base de Ker N^n).

Suis je claire ? !

Oui mais comment doit-on s'y prendre?
On doit calculer Ker(A-lambda*Id)^2, puis ça ne marche pas Ker(A-lambda*Id)^3, ... , ainsi de suite jusquèà Ker(A-lambda*Id)^n s'il le faut.
Peut importe la multiplicité de la valeur propre?
Et si j'ai bien compris on fait cela lorsque l'espace propre associé à la valeur propre est de dimension inferieur à la multiplicité de la valeur propre?

Exponentiel de matrice (algebre)

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