[PSI]Elipse

[Anonyme]

Bonjour,
j'ai une équation d'ellipse de la forme :
x**2 + pxy +q y**2=1 avec p et q des valeurs données.
comment montrer que abs(x ) et abs(y) ont des valeurs maximales?

Merci de votre aide.

[Anonyme]

"stef" , dans le message (fr.education.entraide.maths:47356), a écrit :
> Bonjour,
> j'ai une équation d'ellipse de la forme :
> x**2 + pxy +q y**2=1 avec p et q des valeurs données.
> comment montrer que abs(x ) et abs(y) ont des valeurs maximales?

Je ne suis pas sûr de bien comprendre... mais peut-être t'en sortiras-tu
en écrivant l'équation de l'ellipse (qui au demeurant en est une ssi
q > p^2/4) sous la forme suivante :

(x + py/2)^2 + (q-p^2/4)*y^2 = 1

[Anonyme]

Bonjour,
je ne vois pas comment m'en sortir avec votre formule.

Je dois montrer que pour tout point de l'ellipse(c'est ça qui manquait dans
mon msg initial dsl) abs(x) wrote in message
news:bja6dj$119l$2@nef.ens.fr...
> "stef" , dans le message (fr.education.entraide.maths:47356), a écrit :[color=green]
> > Bonjour,
> > j'ai une équation d'ellipse de la forme :
> > x**2 + pxy +q y**2=1 avec p et q des valeurs données.
> > comment montrer que abs(x ) et abs(y) ont des valeurs maximales?
>
> Je ne suis pas sûr de bien comprendre... mais peut-être t'en sortiras-tu
> en écrivant l'équation de l'ellipse (qui au demeurant en est une ssi
> q > p^2/4) sous la forme suivante :
>
> (x + py/2)^2 + (q-p^2/4)*y^2 = 1[/color]

[Anonyme]

si j'ai bien compris il faut montrer que l'ellipse posséde un point d'abscisse maximale et i=un point d'ordonnée maximale(?). Si c'est le cas voici une preuve sans calcul :
l'application f de R^2 dans R qui à (x,y) associe x est continue donc pour tout compact K de R^2 son image f(K) est aussi compacte et donc posséde un maximum.
L'ellipse étant compacte puisque fermée et bornée dans R^2 c'est terminé. (idem pour l'ordonnéee)

[palmade]

J'ai l'impression que la preuve sans calcul se mord la queue (?)
Avec calcul, en différentiant,
2xdx+p(xdy+ydx)+2qydy=0
soit pour l'extrémum de y dy=0, 2x+py=0 soit x=-py/2
pour l'extrémum de x dx=0, px+2qy=0 soit y=-px/2q
En effectuant les substitutions dans l'équation de l'ellipse (et à condition que ce soit bien une ellipse, donc que p^2<4q), on obtient dans chaque cas une équation du second degré qui donne la valeur des extréma en x et y. Il suffit ensuite de vérifier que si x ou y n'est pas entre ces extréma, l'équation en l'autre variable n'a pas de racine (discriminant négatif)