Exo type oral CCP PSI(difficile)

[abel]

Bonjour,
Je seche sur un exo depuis un ptit moment donc je demande votre aide :
Il s'git de trouver les fonctions C0 de [0,1] dans R+ telles que :


Déjà les fonctions constantes conviennent et je pense que se sont les seules car je visualise ça comme une sorte de "moyenne" des f(x^n) vu que la somme des 1/2^n vaut 1...Du coup, f(x) doit etre "égale" à sa moyenne donc elle doit etre constante...enfin je pense
De meme j'ai trouvé que si f convient alors f+constante convient aussi donc on peut fixer une valeur particulière de f (genre f(0)=1) etc...)

Merci de votre aide.

[aviateurpilot]

je suis encor en terminal ,si j'ai pas fais de faute
voila ce que j'ai trouvé

[abel]

J'ai aussi obtenu ceci mais le pb c'est que l'on a aucune hypothese sur les variations de f (sinon si f etait croissante, on aurait tout de suite la conclusion).
Quelqu'un a une idée ??

[aviateurpilot]

alors si f est strictement monotone sur un [0;r] avec 0alors quelque soit n les thermes de la somme que j'ai donné ont le meme signe si x appartien à [0;r]
f(x^{n+1})=f(x^n) sur [0;r] quelque soit n
donc f(x)=limf(x^n)=f(0)
donc f sera constante sur [0;r]

[mathelot]

étant continue sur est bornée et atteint ses bornes.
soit m son minimum et M son maximum.
quitte à changer en , on peut supposer que f atteint son minimum en x=0.
soit tel que f atteint son maximum en .
1er cas:
alors
d'où or quand
d'ou par continuité:
d'où et la fonction f est constante.

2ème cas:
f atteint son minimum en et son maximum en .je n'ai pas su faire.

[mathelot]

f est continue sur l'intervalle [0;1]. Donc f est bornée et f atteint son minimum m et son maximum M. si f n'est pas constante, quitte à remplacer f par la fonction , on peut supposer que , que m=0 et M=1.
j'ai pu conclure dans le cas particulier suivant: si f atteint son minimum en un point et f atteint son maximum en un point
alors on a l'égalité:

d'où:

comme

d'où:

comme d'où m=f(0)=M et f est donc constante.

reste à traiter le cas où f atteint son maximum en x=1
ou le cas ou f atteint son minimum en x=1.

[abel]

Salut, et merci de ta reponse par contre je n'ai pas compris ce passage de ton raisonnement :

d'où:

EDIT : Ah si en fait j'ai compris, merci beaucoup, je vais regarder les autres cas.

- Dans le cas où f est mini ou maxi pour x=1 on peut travailler sur un segment inclus dans [0,1] ne contenant pas 1, donc avec ton raisonnement, f sera constante sur tout compact ne contenant pas 1 et par continuité f(1) sera déterminé. Par contre je n'arrive pas bien a formaliser ceci...

[mathelot]

Dans le cas où f est mini ou maxi pour x=1 on peut travailler sur un segment inclus dans [0,1] ne contenant pas 1, donc avec ton raisonnement, f sera constante sur tout compact ne contenant pas 1 et par continuité f(1) sera déterminé. Par contre je n'arrive pas bien a formaliser ceci...

oui, d'après ta remarque, il est clair pour moi maintenant qu'il n'y a que les fonctions constantes qui vérifient l'équation.

[mathelot]

je termine ton raisonnement.
supposons et
d'où

Sur l'intervalle compact avec
f atteint son maximum . f est donc constante sur [0;x]
car
donc est constante sur
f est donc constante sur [0;1[ puis par continuité sur [0;1].
dans le cas où , on traite de la même
façon en considérant , le minimum de f sur [0;x].
je pense que le résultat est démontré.

[tize]

BRAVO mathelot ! Joli