Echelonner + rang matrice parametrée

[lharmonica]

Bonjour à tous. Je me présente tout d'abord, nicolas de limoges, 1ère année de prepa informatique.

J'ai un petit problème en algèbre lineaire.
La consigne est la suivante :

Soit m un nombre réel et Am la matrice de paramètre m :

1 0 0 m
-1 1 1 0
Am = 0 m 1 1
2 2 1 0

1. On considère le système linéaire (Sm) de 4 equations à 4 inconnues x,y,z,t ci dessous :

( x + mt = 1
( -x + y + z = 3
( my + z + t = -6
( 2x + 2y + z = 3

(a) echelonner la matrice augmentée du système (Sm) et en deduire le rang de Am suivant les valeurs du paramètre m.....

// Alors là j'échelonne, mais pour echelonner il faut qu'à chaque fois qu'on descende d'une ligne il y ait plus de zero. Le problème c'est qu'à la 3ème ligne eh bien j'ai 0 m 1 1.......Doit on fixe le paramètre a 0 ? Enfin bref cette histoire de paramètre je n'y comprend rien //

// Le rang d'une matrice est la dimension du sous espace vectoriel engendré par ses vecteurs colonnes. Le rang d'une matrice echelonnée est son nombre de lignes non nulles, si elle contient une colonne non nulle que se passe t'il ?! //

// Autre petite question. Est ce que l'on peut juger du rang de n'importe quelle matrice à partir du moment ou l'on sait que son determinant n'est pas nulle, c'est à dire que ses vecteurs colonnes et lignes sont lineairement independant ( donc base etc ...) ? //

Je vous remercie d'avance, ce forum a l'air trés sympa, j'espère que vous pourrez repondre trés vite et précisement à mon problème, j'ai bientot le rattrappage !

[fahr451]

bonjour

je n'ai trop compris ta question

"échelonner" par la méthode du pivot c'est

1 choisir un pivot dans la première colonne c'est à dire un coeff non nul
si la colonne est nulle on passe à 4
2 le mettre en haut à gauche (première ligne) si nécessaire par permutations de lignes

pour toi c 'est inutile le 1er pivot est 1

3 par opérations sur les lignes mettre des zéros sur toutes les lignes sous le pivot

lorsqu'il y a déjà un 0 on ne fait rien ...et c'est tout

4 recommencer 1,2,3 à partir de la deuxième colonne et deuxième ligne

[lharmonica]

Oui je suis d'accord, mais tu ne repond pas a ma question. Le problème est qu'il s'agit d'une matrice parametrée ! c'est à dire qu'il s'agit d'une matrice carée d'ordre 4 avec x,y,z et t mais un paramètre m.
Aprés echelonnement j'arrive à ça:

1 0 0 m
0 1 1 m
0 m 1 1
0 m 0 -2m+1

Il reste encore 2 m ! Est ce que je peux laisser ça comme ça, et aussi est ce que mon echelonnement est bon ? ( jsuis pas un pro d'échelonnement ).

[fahr451]

comment pourrais je répondre à ta question alors que tu n'avais pas donné la matrice après opérations ?

tu n'as pas fini l'étape 3

L3<-L3- m L2 et L4<- L4 -mL2 pour mettre des zéros sous le pivot 1 est nécessaire

[lharmonica]

Ah d'accord. merci beaucoup pour ton aide.
pourrais tu repondre à mes autres interrogations stp ( ou quelqu'un d'autre, fahr451 a deja bien travaillé ! ) concernant la relation entre rang et determinant svp ( comme demandé à mon premier post ).
merci d'avance

[emdro]

bonsoir,

je ne comprends pas comment tu obtiens ta dernière ligne:
0 m 0 -2m+1

Quelle opération as-tu faite?

Après, je t'explique les notions de rang et de déterminant.

[lharmonica]

alors je regarde ma feuille :

En considérant L1 L2 L3 L4 les quatres lignes de Am, j'ai fait les opérations elementaires suivantes :

L2<--L1+L2 Cela nous fait donc : L2 = ( 0 1 1 m )

L4<--L4-2L1 ce qui nous fait : L4 = ( 0 2 1 -2m )

L4<--L4-2L2 et l'erreur est ici ! ( bien vu ).
j'ai maintenant du L4= ( 0 0 -1 -4m)

Ce qui fait pour l'instant :

1 0 0 m
0 1 1 m
0 m 1 1
0 0 -1 -4m

On fait L4<--L4+L3

Les deux dernière lignes :

0 m 1 1
0 m 0 -4m+1

On applique la solution de fahr :

L3<--L3-mL2
L4<--L4-mL2

j'ai donc ça : pour L3 : 0 0 1-m 1-m²

pour L4: 0 0 -m m²-4m+1

Je crois qu'il y a encore un problème avec un m !!! pas facile les maths...

[emdro]

Ta première étape semble encore fausse: il faut faire L4+2*L2

Moi cela me donne 0 4 3 0,
non?

[lharmonica]

Oui je veux bien faire ça, mais on ne fait pas apparaitre de zero interessant ? si ?

donc en gros on en serait là :

1 0 0 m
0 1 1 m
0 m 1 1
0 4 3 0

Merci pour tes reponses emdro, c'est trés sympa

[emdro]

Si, le seul 0 intéressant, c'est celui en dessous du 1 en haut à gauche. A la fin, on veut des 0 partout en dessous de la diagonale. Si on s'y prend au hasard, on ne s'en sort jamais!
La méthode: se débrouiller pour avoir des 0 dans la première colonne à partir de la deuxième ligne; ça c'est bon, tu as réussi.

Maintenant, on va laisser la première ligne tranquille, et on va se débrouiller pour mettre des 0 dans la deuxième colonne à partir de la troisième ligne. Pour cela, tu utilises le 1 (ligne 2 colonne 2) de la deuxième ligne.

A toi!

Je verrais bien du:
L3<--L3-m*L1
L4<--L4-4*L1
non?

[lharmonica]

Je crois que tu as voulu dire :
L3<--L3-mL2
L4<--L4-4L2

Moi j'ai donc : L3 = ( 0 0 1-m 1-m² )
L4 = ( 0 0 -1 -4m )

[emdro]

Bien vu, désolé pour le L1!

J'ai comme toi.

maintenant, vient une idée SUPER importante:

Si on continue logiquement, notre nouveau "pivot" est 1-m.
Mais, selon les valeurs de m, c'est peut-être 0.
Il faudrait faire
L4<-- L4+[1/(1-m)]L3 (j'ai fait attention!)

Mais tu vois que si 1-m=0, c'est pas génial...
Deux solutions:
*on sépare les cas m=1, m#1
*on inverse les deux dernières lignes et on fait ensuite L4<-- L4+(1-m)*L3

A toi!

[emdro]

Moi, cela me donne
1 0 0 m
0 1 1 m
0 0 -1 -4m
0 0 0 3m²-4m+1

Merci de confirmer!

[lharmonica]

desolé ptit problème de connection.
OUIII super j'ai pareil !!!
Donc si j'ai bien compris on resout chaque ligne a 0 pour en deduire le nombre de ligne non nulle et donc le rang ?

[emdro]

Je crois que tu as compris.
On "trigonalise" la matrice, c'est à dire qu'on s'assure de n'avoir que des 0 sous la diagonale par la méthode que je t'ai donnée. Nous on, y est.

Ensuite, tout est plus facile.
Le déterminant est le produit des éléments de la diagonale.

S'il est non nul, le rang de la matrice est sa dimension (4 pour nous si m est différent de 1 et 1/3).

Attention, tu as dit que le rang est le nombre de lignes non nulles, c'est faux; il faut en outre qu'elles ne soient pas dépendantes.
exemple
le rang de
1 2 4 2
2 4 8 4
est 1 seulement, pourtant aucune ligne n'est nulle.

[emdro]

Si m= 1 ou m=1/3, la dernière ligne est nulle, donc le rang est <4.
Les trois premières lignes ne sont pas dépendantes (à cause de la configuration diagonale) donc le rang est 3.

Pour résoudre ton système en x, y, z et t , il faut faire le même travail sur le système. A gauche, on va retrouver les coefficients de nos matrices successives. N'oublie pas de modifier les membres de droite selon les opérations effecuées.

A la fin, avec un système triangulaire, c'est super facile à résoudre:
la dernière équation donne t, l'avant dernière donne z, etc.

[lharmonica]

Merci pour ta reponse, cela me clarifie beaucoup les choses.
Par contre, ce que j'ai voulu dire, c'est que pour une matrice echelonee, son rang est son nombre de lignes non nulle, non ? Donc ici, il n'y a qu'une ligne qui puisse être egale à 0 il me semble, c'est la 4ème ?

Ce dont je veux être sur, c'est que pour une matrice quelconque A, si son determinant est nul, alors il y a des lignes ou collones dependantes les une des autres et forment donc une famille liée ( pour les vecteurs colonnes ), donc on cherche à echelonner pour en determiner le rang.
Par contre si le determinant est non nul, qu'est ce que cela implique ? qu'il s'agit d'une base ? mais une base formée des vecteurs lignes ou colonnes ?
parce que si on prends une matrice carrée, la propriété, c'est que quand det diff de 0, alors le rang = ordre de la matrice.
mais qu'en est-il pour une matrice non carrée ?
A quoi est egal le rang ?

[emdro]

pour une matrice echelonee, son rang est son nombre de lignes non nulle, non ? Donc ici, il n'y a qu'une ligne qui puisse être egale à 0 il me semble, c'est la 4ème ?

Oui absolument

Ce dont je veux être sur, c'est que pour une matrice quelconque A, si son determinant est nul, alors il y a des lignes ou collones dependantes les une des autres et forment donc une famille liée ( pour les vecteurs colonnes ), donc on cherche à echelonner pour en determiner le rang.

Oui encore

Par contre si le determinant est non nul, qu'est ce que cela implique ? qu'il s'agit d'une base ? mais une base formée des vecteurs lignes ou colonnes ?
parce que si on prends une matrice carrée, la propriété, c'est que quand det diff de 0, alors le rang = ordre de la matrice.

Si le déterminant est non nul, les vecteurs lignes sont linéairement indépendants et les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants. (familles libres) Une relation linéaire sur les lignes implique une relation linéaire sur les colonnes. Donc cela revient au même.

mais qu'en est-il pour une matrice non carrée ?
A quoi est egal le rang ?

Le déterminant d'une matrice non carrée n'est pas défini. En revanche le rang lui existe: c'est la dimension du sous-espace engendré par les vecteurs lignes (ou les vecteurs colonnes, cela revient au même encore une fois).

Ca va?

[lharmonica]

D'accord. Oui mon problème était qu'effectivement le determinant d'une matrice non carée n'est pas défini, il n'y a mème pas à se poser la question.
Et bien UN GRAND MERCI A TOI emdro !!!
Je vais bien bosser tout ça, et je crois que j'aurais encore quelque petites questions.

[emdro]

Au passage, la solution de ton système est
x=(9m+1)/(3m²-4m+1)
y=-3(9m+1)/(3m²-4m+1)
z=(9m²+24t+7)/(3m²-4m+1)
t=(3m-13)/(3m²-4m+1)

lorsque m n'est ni égal à 1, ni égal à 1/3

Sauf erreur de ma part (j'en suis très capable!)

C'était un plaisir de t'aider.

A la prochaine!