écart-type

[michaaa001]

Bonjour,

Voilà, j'ai un petit problème. Je fais mes ex de stats et je trouve un écart-type de 6,6 points. Mon professeur dit que cela signifie que les observations se situent à 6,6 points de la moyenne. Cependant, mon professeur de l'année dernière dit que l'écart-type n'a pas de signification concrète en lui-même. Pouvez-vous m'aider?Merci. Qui a raison?

[michaaa001]

J'ai besoin d'une réponse svp

[BQss]

Bonjour,

Voilà, j'ai un petit problème. Je fais mes ex de stats et je trouve un écart-type de 6,6 points. Mon professeur dit que cela signifie que les observations se situent à 6,6 points de la moyenne. Cependant, mon professeur de l'année dernière dit que l'écart-type n'a pas de signification concrète en lui-même. Pouvez-vous m'aider?Merci. Qui a raison?

Ton prof de l'année derniere a raison.

Fondamentalement pour calculer la moyenne de l'erreur par rapport a la moyenne il faudrait calculer la somme de la valeur absolue de l'ecart et de diviser le tout par le nombre de valeur.
Prendre la valeur absolue, car tu comprends bien que si tu ne sommes que les valeurs elles meme c'est tantot moins et tantot plus et la somme va s'annuler et cela ne te donnera pas l'ecart evidemment, on prend donc la valeur absolue, pour avoir vraiment une somme qui constitue une somme d'ecart.

L'ecart type c'est en fait la racine de la variance.

La variance est elle calculée en faisant la moyenne de l'ecart au carré!
L'ecart au carré est aussi une valeur positive donc c'est bon on somme bien quelque chose de cohérent et les ecarts ne vont pas s'annuler en les sommants, par contre cela reste quand meme une moyenne des carrés...

Ensuite tu prends la racine de ca et c'est ton ecart type.
Alors en effet c'est une information sur l'ecart par rapport a la moyenne et plus il est grand plus les valeurs sont en moyenne ecarté de la moyenne.

Mais comme racine(somme(des x au carrés))) est different de somme des |x|
en affet racine(a^2+b^2) ca ne fait pas |a+b| et encore moins (a+b) et bien l'ecart type n'est pas la moyenne de l'ecart a la moyenne. Le fait d'en prendre la racine le redimensionne a la hauteur de l'ecart ( racine (d'une somme de carré) est du meme ordre si on vulgarise que la somme elle meme.)

Pour autant ton prof de cette année n'a pas completement tort non plus, il vulgarise le concept.
L'ecart type te donne en effet une information concernant la precision de tes mesures, juste qu'il amplifie les erreurs situé au dessus de 1 et qu'ils diminuent celles comprisent entre 1 et 0. Du coup tu as une idée de l'ecart plus ou moins, mais ce n'est pas exactement l'ecart.

exemple si on a un ecart de 1/2 et 2 pour deux valeurs par rapport a la moyenne.

La moyenne de l'ecart vaut 1/2 +2 le tout divisé par deux soit 1.25.
L'ecart type te donne racine((1/4+4)/2 )= environ 1.46.
C'est a dire que les valeurs trop eloigné vont prendre plus d'importance et les petites vont en prendre encore moins.

Alors que si mes deux ecarts sont 1/2 et 1/2, la moyenne de l'ecart vaut 1/2.
L'ecart type vaut lui maintenant racine(1/4+1/4)=racine(1/2)=1/rac(2) qui est plus proche de 1 que la moyenne de l'ecart.
L'ecart type c'est la racine de la moyenne des ecarts au carré et ca c'est different de la moyenne des ecarts.
L'ecart type en mettant le nombre au carré tiens aussi en fait compte de la nature des ecarts, les ecarts importants sont plus importants dans son calculs que les ecarts faible.

Statistiquement ca veut dire que quand on fait une mesure, on juge que quand une valeur est juste c'est moins important, c'est peut etre un hasard, donc elle doit moins compter qu'un ecart important qui lui ne peut que etre du a une tres grande instabilité du phenomene et donc a une impossibilité de le representer par sa moyenne.

Pour autant ca c'est vraiment si on cherche a se demander qualitativement pourquoi.
Au final c'est plus une affaire pratique de sommer des trucs agreables et positifs, au lieu de prendre la valeur absolue, on prend la racine de la somme au carré, c'est comme ca, on manipule mieux des carrés que des valeurs absolues et les propriétées d'une somme de carrés sont plus interessantes.

[michaaa001]

Ok...eh bien monsieur, c'est vraiment génial. Vous êtes doué, respect. J'ai encore une dernière petite chose. J'ai une moyenne de 11,1 et un écart-type de 6,6. La nouvelle prof dit que chaque individu se suitue en moyenne à 6,6 points de la moyenne (ce qui n'est pas vrai nous l'avons vu). Ce dont elle donne l'interprétation, mon prof l'appelait écart absolu moyen. Néanmoins, un écart type de 6,6 comment puis-je interpréter ça commairement sans me tromper? Encore une chose, on dit que plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Mais qu'est-ce qu'un grand ou un petit écart-type? 6,6 d'écart-type part rapport à une moyenne de 11, peut-on dire que c'est un grand ecart type et que les valeurs sont fort dispersées? Merci encore une fois pour votre aide précieuse

[BQss]

Ok...eh bien monsieur, c'est vraiment génial. Vous êtes doué, respect. J'ai encore une dernière petite chose. J'ai une moyenne de 11,1 et un écart-type de 6,6. La nouvelle prof dit que chaque individu se suitue en moyenne à 6,6 points de la moyenne (ce qui n'est pas vrai nous l'avons vu). Ce dont elle donne l'interprétation, mon prof l'appelait écart absolu moyen. Néanmoins, un écart type de 6,6 comment puis-je interpréter ça commairement sans me tromper? Encore une chose, on dit que plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Mais qu'est-ce qu'un grand ou un petit écart-type? 6,6 d'écart-type part rapport à une moyenne de 11, peut-on dire que c'est un grand ecart type et que les valeurs sont fort dispersées? Merci encore une fois pour votre aide précieuse

Oui en physique notamment on ecrit
x= E(x) +- Ecart type.
Mais en effet chaque individu ne se situe pas en moyenne a 6.6 points de la moyenne( comme le disait ton ancien prof c'est l'ecart absolu moyen qui donne l'ecart moyen par rapport a la moyenne pas l'ecart type) par contre la moyenne des ecarts au carrés vaut 6.6^2 c'est a dire (ecart type)^2=variance= moyenne des ecart au carré=racine(variance)^2=6.6^2.
Donc tu l'interpretes comme quelque chose de proche de la moyenne des ecarts a la moyenne mais qui comme il est un peu different doit etre compris de maniere qualitative et non absolu, c'est un indicateur qui a le meme ordre de grandeur que ce qu'il indique,mais il n'est pas exactement egal, c'est ca la nuance.
Plus c'est grand, plus c'est dispersé, c'est exacte, mais la dispersion moyenne ne vaut pas sa valeur, meme si elle est proche, c'est du au fait que la racine de la somme des carrés est une assez bonne approximation tout de meme de la somme des valeurs absolus. Donc tu peux l'interpreté qualitativement comme la moyenne de l'ecart, tout en sachant que c'est environ ca mais pas exactement ca. Et c'est une plus ou moins bonne aproximation(tjs bonne quand meme) selon les mesures prises.

L'erreur entre l'ecart type et la moyenne des valeur absolu à l'ecart vaut en fait, par exemple si on a mesuré que deux valeurs:
moyenne de l'ecart^2=1/4(|a|+|b|)^2=1/4(a^2+b^2+2ab)= 1/2*(ecart type)^2+1/2ab
donc moyenne des ecart a la moyenne= racine( 1/2ecart type^2 + |ab|/2)
et ces valeurs sont proches.

Maintenant pour interpreter "grand ou "petit", qui est une notion relative forcement, il faut savoir a quoi c'est relié...
Et bien c'est evidemment relié a la mesure elle meme.
Par exemple une erreur de 10 metre pour calculer la longueur d'un fleuve de plusieurs milliers de kilometres et un bien meilleur resultat qu'une erreur de 2 centimetre si on mesure la taille d'un objet qui mesure environ un metre.
L'erreur doit etre normé par rapport a la moyenne pour en mesuré la relative grandeur. Apres tu peux exprimer ce resultat en pourcentage de la moyenne.

cela donne, une erreur de 10 metre pour un fleuve de 1000 km:
10/10^6=0.00005=0.001%, soit une erreur de 0.001 pourcent la veritable taille du fleuve.
une erreur de 2 centimetre pour un objet d'un metre:
2/100=0.02=2%, soit une erreur de 2% de la veritable taille de l'objet.

Tu vois bien que l'erreur est grande ou petite relativement a la taille de l'objet qu'on mesure. C'est logique on aura été bcp plus precis pour le fleuve que pour l'objet, meme si l'erreur est de maniere absolue plus grande elle est relativement beaucoup plus petite.

Pareille en statistique.
Plus les valeurs que tu mesures sont grandes, plus l'erreur absolue grandi, pour avoir une veritable notion de la precision des mesures il faut donc relaitivisé ca par raport a l'ordre de grandeur de ces mesures.
Donc pour avoir la precision relative d'une mesure tu fais:
Precision=moyenne/ecart type, et tu multiplies par 100 si tu veux avoir ca en pourcentage.

ainsi 6.6 par rapport à 11 est un enorme ecart type, qui veut dire que ton phenomene n'est pas vraiment aprochable par sa moyenne ou que tes valeurs sont tres imprecises et ne suivent pas de loi lineaire.
6.6/11=60% montre que ton ecart type et tres gros relativement a la valeur.

[michaaa001]

Merci, encore tres complet. Juste une dernière chose (je précise, je ne suis pas dans le domaine matheux). Poursimplifier toute votre superbe démonstration, un écart-type de 6,6 et une moyenne de 11...en termes simples, si l'écart type ne veut pas dire que ts les individus se situent à en moyenne 6,6 points de la moyenne, comment puis-je le dire d'une facon simple en une phrase? Merci beaucoup

[michaaa001]

Qu'en dites-vous? Désolé d'etre aussi chiant

[BQss]

Merci, encore tres complet. Juste une dernière chose (je précise, je ne suis pas dans le domaine matheux). Poursimplifier toute votre superbe démonstration, un écart-type de 6,6 et une moyenne de 11...en termes simples, si l'écart type ne veut pas dire que ts les individus se situent à en moyenne 6,6 points de la moyenne, comment puis-je le dire d'une facon simple en une phrase? Merci beaucoup

On redige comme ca:
L'ecart type est tres sensiblement egal a la moyenne de l'ecart à la moyenne(c'est en fait la racine de la moyenne des carrés qui n'est pas tout a fait egal mais une bonne approximation), si il vaut 6.6 je peux donc en assumant que l'ecart type est egal a l'ecart moyen en deduire que mes mesures sont tres dispersé par rapport a la moyenne: 6.6/11=60% en effet chacune est en moyenne differente d'environ 60% de la moyenne d'entre elles, ce qui nous permet de dire que la moyenne n'est pas une bonne aproximation de ce phenomene, il vaudrait mieux l'etudier plus en profondeur et eventuellement etablir une loi de probabilité le caracterisant, c'est un phenomene tres dispersif et la moyenne n'est pas un element suffisant pour le decrire de maniere a exploiter ses consequences.