DSE et équations différentielles
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psp
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par psp » 01 Déc 2013, 04:58
Bonsoir,
Soit
et
=cos(\alpha arcsin (x)))
Je dois déterminer une équation différentielle d'ordre 2 dont f est solution puis un déduire un développement en série entière.
Je cherche cette équation différentielle par tâtonnement en espérant trouver quelque chose, la piste la plus 'valable' que j'ai trouvé étant :
}{(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}} (1- \frac{x}{1-x}))
De l'aide ?
Merci d'avance
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deltab
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par deltab » 01 Déc 2013, 06:44
Bonjour.
psp a écrit:Bonsoir,
Soit
et
Je dois déterminer une équation différentielle d'ordre 2 dont f est solution puis un déduire un développement en série entière.
Je cherche cette équation différentielle par tâtonnement en espérant trouver quelque chose, la piste la plus 'valable' que j'ai trouvé étant :
De l'aide ?
Merci d'avance
L'équation différentielle que tu as trouvée ne se prête guère à un DSE
L'idéal pour l'équation différentielle cherchée est qu'elle soit de la forme
y''+B(x)y'+C(x)y=D(x))
où
sont des polynômes et
une fonction développable en série entière, si possible déjà connu ou au pire pas difficile à trouver.
))
)\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}})
)\dfrac{1}{1-x^2}-\alpha\sin(\alpha \arcsin(x))\dfrac{1}{1-x^2}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}})
Essaies d'écrire
sous la forme
y+h(x)y')
,
et
étant des fonctions de
et ramène cette écriture à une forme dont le DSE est simple à exprimer.
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psp
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par psp » 01 Déc 2013, 15:19
deltab a écrit:Bonjour.
L'équation différentielle que tu as trouvée ne se prête guère à un DSE
L'idéal pour l'équation différentielle cherchée est qu'elle soit de la forme
où
sont des polynômes et
une fonction développable en série entière, si possible déjà connu ou au pire pas difficile à trouver.
Essaies d'écrire
sous la forme
,
et
étant des fonctions de
et ramène cette écriture à une forme dont le DSE est simple à exprimer.
Merci pour ce coup de pouce j'ai beaucoup avancé,
J'ai trouvé
Or il dépend de
et
} ((n-2)(n-3) + \alpha^{2}))
)
Je suis censé voir quelque chose pour obtenir a(n) dépendant seulement de n, mais là je vois rien, j'ai peut être fait une erreur de calcul...
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Ben314
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par Ben314 » 01 Déc 2013, 16:42
Tu as vérifié le y'' de deltab ? (j'ai l'impression qu'il y a une erreur de signe au début)
Perso, après calculs, je trouve
c'est à dire
a_n=\big((n-2)(n-3)+(n-2)-\alpha^2\big)a_{n-2})
pour tout
Donc
=1)
;
=0)
et, pour
,
^2-\alpha^2}{n(n-1)}a_{n-2})
Ce qui semble correspondre à ce que trouve
wolframQui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 01 Déc 2013, 16:57
Ben314 a écrit:Tu as vérifié le y'' de deltab ? (j'ai l'impression qu'il y a une erreur de signe au début)
+1
J'ai aussi des doutes sur
psp a écrit:J'ai trouvé
Or il dépend de
et
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par psp » 01 Déc 2013, 17:38
Ben314 en reprenant depuis le début je retombe bien sur ton résultat merci
Maintenant wolfram me donne une solution de récurrence avec des fonctions gamma, je vais voir ça...
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 01 Déc 2013, 17:48
Ben314 a écrit:Perso, après calculs, je trouve
Moi j'avais trouvé
EDIT : non c'est bon :marteau:
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psp
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par psp » 01 Déc 2013, 18:20
Je n'arrive pas à me débarrasser des fonctions gamma contenant a, puisque a appartient à R...
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=u%280%29+%3D+1%2C+u%281%29+%3D+0%2C+u%28n%29%3D%28%28n-2%29^2+-+a^2%29%2F%28n%28n-1%29%29+u%28n-2%29]Wolfram[/url]
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Ben314
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par Ben314 » 01 Déc 2013, 18:41
Je sais pas sous quelle forme tu veut obtenir
, mais perso, j'aurais écrit (réccurence "triviale") que,
pour n pair, on a :
^2-\alpha^2}{n(n-1)}a_{n-2}=...=\frac{(n-2)^2-\alpha^2}{n(n-1)}\times\frac{(n-4)^2-\alpha^2}{(n-2)(n-3)}\times\dots\times\frac{2^2-\alpha^2}{4\times 3}\times\frac{0^2-\alpha^2}{2\times 1}a_0)
(4^2-\alpha^2)...((n-2)^2-\alpha^2)}{n!})
et ça m'aurais paru suffisant...
Ca montre en particulier que, si
est un entier pair (positif ou négatif) alors les
sont nuls à partir d'un certain rang ce qui signifie que f est un polynôme en x.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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deltab
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par deltab » 02 Déc 2013, 00:58
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