DSE et DL

[Pseuda]

Bonsoir,

En effet Ben314, ne veut pas dire DSE (je ne connais pas les fonctions analytiques). Merci de faire cette remarque. J'ai peut-être un peu extrapolé.

Mais je voulais dire que la seule fonction qui serait constante sur un intervalle autour de 0 et qui serait de classe sur , serait la fonction constante sur (mais je n'en suis pas sûre, je ne l'ai pas démontré). La fonction exp(-1/x²) et 0 en 0, est , mais n'est pas constante sur un intervalle autour de 0.

[Ben314]

Mais je voulais dire que la seule fonction qui serait constante sur un intervalle autour de 0 et qui serait de classe sur , serait la fonction constante sur

Justement, non :
(1) Ce qui est vrai, c'est que la seule fonction développable en série entière (*) nulle sur un petit intervalle non réduit à un point est la fonction identiquement nulle sur R.
(2) Par contre, pour fixé, la fonction si et si est sur tout entier, et elle est non identiquement nulle bien que nulle sur .

(*) Avec partout un rayon de C.V. non nul et dont la série converge effectivement vers la fonction de départ, et c'est ça qu'on appelle une "fonction analytique".

P.S. Et si ça t'intéresse, la preuve du (1) est assez évidente : si f est analytique sur R et nulle sur un intervalle centré en , on considère l'ensemble des tels que soit nulle sur . On montre facilement que cet ensemble est un ouvert-fermé non vide de donc ça ne peut être que . Idem de l'autre coté.

[Pseuda]

Pour la (1), j'aurais dit : si est développable en série entière, de rayon de convergence infini, nulle sur un petit intervalle autour de , alors son développement en série entière est identiquement nul, donc elle est nulle sur .

(2) En effet, il fallait y penser !

Je commence à entrevoir l'intérêt de distinguer les fonctions développables en série entière de celles qui ne le sont pas. Les premières sont "rigides", les secondes, notamment celles qui sont seulement , ne le sont pas.

[Ben314]

Pour la (1), j'aurais dit : si est développable en série entière, de rayon de convergence infini, nulle sur un petit intervalle autour de , alors son développement en série entière est identiquement nul, donc elle est nulle sur .

Non, ça ne marche pas : dans la définition d'une fonction analytique définie sur R tout entier, tu ne demande pas à la série entière (centrée en 0 par exemple) de converger (vers la fonction) sur R tout entier, mais uniquement de converger (vers la fonction) sur un voisinage de 0 donc, à priori, le fait que la série ait tout ces coeff. nuls, ça prouve juste que la fonction est nulle sur un petit intervalle autour de 0.
Par exemple est bien une fonction analytique sur R tout entier alors que son D.S.E. en 0 ne converge vers la fonction que sur l'intervalle ]-1,1[ et pas sur R tout entier.

En fait, si tu veut que "tout se passe archi-bien" et en particulier que systématiquement le rayon de convergence "bute" sur un vrai problème de la fonction, il ne faut pas se placer sur R mais sur C (par exemple, pour , le problème il est en et c'est lui qui explique que le rayon de convergence ne vaut que 1).
Mais en fait, en se plaçant dans C, ça marche presque "trop bien" (d'un certain point de vue) vu que cette fois, il n'y a plus aucune différence entre fonctions C^infini et fonction analytiques et on a même bien mieux : dès qu'une fonction est dérivable alors elle est forcément analytique (donc C^infini).

[Pseuda]

Bonjour,

Je ne connais pas les fonctions analytiques (comme je te l'ai dit plus haut). Cela m'embrouille. Je vais arrêter là, mais merci quand même.