DSE et DL

[Pseuda]

Bonsoir,

Il est probable que cette question a déjà été posée, mais tant pis je la repose.

Pour la plupart des fonctions usuelles () qui sont développables en série entière, la partie polynomiale jusqu'à un certain ordre de leur DSE est la même que celle de leur DL (développement limité) au même ordre. Par exemple, pour la fonction exponentielle :

.

Ceci veut dire que la valeur d'une fonction et de toutes ses dérivées en 0 détermine la fonction toute entière ! (sur le disque de convergence)

Comment expliquez-vous cela logiquement ?

[Ben314]

Salut,
Ben... c'est la définition même de ce qu'on appelle une fonction développable en série entière donc je comprend pas trop où peut se situer "l'étonnement" (pour le moment, à mon sens, c'est un peu comme si tu trouvait "étonnant" qu'un parallélogramme soit... un parallélogramme)

Bref, tu peut détailler un peu ton questionnement (i.e. où est-ce qu'il y a quelque chose qui te semble "étonnant")

[LB2]

Le DSE est une notion globale sur un ouvert, le DL est une notion locale en un point. L'étonnement vient peut-être de là?

[Pseuda]

Ce que je trouve étonnant, c'est que les valeurs d'une fonction et de ses dérivées en : finissent par donner la fonction toute entière.

Par exemple le nombre peut être obtenu grâce à toutes les dérivées de la fonction exponentielle en .

Comment ce qui se passe en et dans un voisinage très immédiat, peut avoir une influence sur ce qui se passe beaucoup plus loin, en ?

[pascal16]

qu'un DL colle à un sinus, c'était pas gagné d'avance..

Un polynôme interpolateur de Lagrange ne colle pas forcément à un courbe par exemple et peut même aller de plus en plus loin quand on augment le degrè

[Pseuda]

qu'un DL colle à un sinus, c'était pas gagné d'avance..

Que veux-tu dire par là ? Quand on pousse le DL assez loin, la fonction sinus "apparaît", et de plus en plus loin au fur et à mesure que l'on pousse l'ordre du DL en 0 (à constater sur un graphique).

[Ben314]

Ce que je trouve étonnant, c'est que les valeurs d'une fonction et de ses dérivées en : finissent par donner la fonction toute entière.

Oui, mais est-ce que ce même truc te semble aussi étonnant concernant la classe (bien plus petite) des fonction polynomiales ou pas ?

Parce que perso, la façon dont je vois les choses, c'est que que le truc en question, pour les fonctions polynomiales, c'est une "évidence évidente" (et pour reconstituer entièrement le polynôme, il suffit même de connaître les dérivées en un point jusqu'à l'ordre d où d est le degré du polynôme). E
Et ensuite, les fonctions développable en séries entière, ben c'est jamais que des polynômes "de degré infini" donc ça me semble pas trop surprenant que certaines des propriétés des polynômes "passent à la limite".

Et parmi les autres comportement du même style qui eux aussi "passent à la limite", tu a aussi ça :
Si une fonction est développable en série entière en 0 avec un rayon de C.V. >1, alors la connaissance des f(1/n) pour tout n dans N* détermine entièrement la fonction f (i.e. si f(10 000) existe, tu peut savoir combien il vaut en ne connaissant "que" f(1) , f(1/2) , f(1/3) , ...)

[Pseuda]

En effet, bonne idée ! Je vais réfléchir là-dessus.

[Ben314]

Comment ce qui se passe en et dans un voisinage très immédiat, peut avoir une influence sur ce qui se passe beaucoup plus loin, en ?

Ca, intuitivement parlant, tout ce que ça te dit, c'est que les fonctions développable en séries entières, c'est "pas mal rigide" ou si tu préfère, qu'il n'y en a pas des masse des fonction développable en série entière.

Mais c'est évidement du même tonneau que par exemple une fonction de R^2->R : si tu sait qu'elle est linéaire alors la connaissance de f(1,0) et de f(0,1) te permet de déterminer f(1258,3864).
Ca aussi ça te semble "étonnant" ou pas ?

[pascal16]

exp, sin, sont des fonctions à fort degré de corrélation par des ED ( exp'=exp).
la réponse à une ED et que la courbe colle à sont DL sont pour moi des choses qui sont liées.
La dérivée d'une fonction est sous certaines condition la dérivée de son DL, les primitives coïncident, ceci lie DL et fonction sur tout l'ensemble de définition, pas qu'en un seul point.

Quand on dérive un polynôme, il 'tombe' un exposant qui se met en facteur. Si le développement polynomial a des coefficients au dénominateurs trop faibles face aux exposants de numérateur, la dérivée peut être divergente. On est dans le monde du chaos à petite échelle mais stable à grande échelle.

Ca me fait penser à un vieux sujet, le calcul de sin (2^2018) avec le débat sur la précision nécessaire...

[aviateur]

Et bien p(z)=1+z est aussi une fonction entière déterminée par toutes ses dérivées en zéro.
mais ça m'étonne pas plus que ça que p(2018)=2019 en dépendent. Et vice versa. Connaissant toutes les dérivées de p en 2018, je peux calculer la valeur de p(0).

[aviateur]

zut j'ai pas vu les autres réponses!!

[Pseuda]

Ca, intuitivement parlant, tout ce que ça te dit, c'est que les fonctions développable en séries entières, c'est "pas mal rigide" ou si tu préfère, qu'il n'y en a pas des masse des fonction développable en série entière.

En effet, elles sont finalement sans surprise, il n'y a pas beaucoup de degré de liberté, autrement dit, elles sont prévisibles, puisque le comportement en 0 donne toute l'information sur la fonction.

Evidemment si on définit les fonctions par leur DSE (comme exp, sin et cos), cela commence à paraître moins surprenant. Il doit exister une rigidité des fonctions, due à leur définition par une expression algébrique.

Il doit y avoir en effet des fonctions beaucoup moins prévisibles.

Mais c'est évidement du même tonneau que par exemple une fonction de R^2->R : si tu sait qu'elle est linéaire alors la connaissance de f(1,0) et de f(0,1) te permet de déterminer f(1258,3864).
Ca aussi ça te semble "étonnant" ou pas ?

Cela non évidemment, puisque le fait de savoir qu'elle est linéaire, la connaissance de 2 points la donne toute entière.

[Pseuda]

exp, sin, sont des fonctions à fort degré de corrélation par des ED ( exp'=exp).
la réponse à une ED et que la courbe colle à sont DL sont pour moi des choses qui sont liées.
La dérivée d'une fonction est sous certaines condition la dérivée de son DL, les primitives coïncident, ceci lie DL et fonction sur tout l'ensemble de définition, pas qu'en un seul point.

En effet, cela conforte que du fait des expressions algébriques des fonctions, les valeurs prises sont liées d'un bout à l'autre.

Cela m'éclaire. Merci à tous !

[Pseuda]

Et bien p(z)=1+z est aussi une fonction entière déterminée par toutes ses dérivées en zéro.
mais ça m'étonne pas plus que ça que p(2018)=2019 en dépendent. Et vice versa. Connaissant toutes les dérivées de p en 2018, je peux calculer la valeur de p(0).

Bonjour,

C'est vrai que la fonction définie sur définie par , sa dérivée égale à en (et partout), sa dérivée seconde nulle, et sa valeur en nous renseigne sur sa valeur partout.

Soit une fonction constante (donc de dérivée nulle en ). Si on devait fabriquer une fonction avec toutes ses dérivées nulles en , mais qui ne soit pas une fonction constante sur , par exemple elle serait constante sur un petit intervalle autour de , puis elle s'écarterait de sa valeur.

Par exemple, la fonction définie par
sur
sur
sur ,
elle serait , mais pas sur .

On pourrait fabriquer une fonction . Celle qui serait sur serait la seule fonction constante égale à partout.

Un voile se déchire. Merci à toi, aviateur !

[Pseuda]

Bonjour,

C'est là que je viens de comprendre un truc énorme en mathématiques. C'est que toutes les fonctions usuelles (celles du lycée et 1ère année du supérieur) : exp, sin, cos, sh, ch, ln(1+x), 1/(1+x), homographiques, arctan, ... sont des fonctions qui sont DSE autour de 0 (ou autour d'un point quelconque, j'imagine que cela existe), donc de classe sur un intervalle, et que pour toutes ces fonctions, leur DSE se confond avec leur DL sur l'intervalle.

Du coup pour ces fonctions, il n'y a plus rien d'étonnant à ce que leurs dérivées successives en 0 donne la fonction toute entière sur l'intervalle.

On peut en fabriquer autant qu'on veut, et même toutes. Il suffit de changer les coefficients du développement polynomial. Les polynômes ne sont que des cas particuliers de ces fonctions, à développement polynomial fini (merci Ben314).

Les fonctions exp, sin, cos, même si elles correspondent à une réalité tangible qui pré-existe à leur DSE (exp : généralisation des suites géométriques, égale à sa dérivée, cos et sin : abscisse et ordonnée d'un point qui tourne sur le cercle unité), ne sont que des cas très particuliers de ces fonctions. J'imagine qu'on peut construire de cette façon des fonctions périodiques de période autre que , ou même qui n'ont rien à voir avec . Ou des fonctions qui auraient d'autres propriétés étonnantes.
Du coup, je me demande si le fait qu' et a un rapport avec le fait que ces fonctions soient périodiques. (c'est faux pour exp, qui est telle que exp'=exp, non périodique)

Bref, les fonctions DSE sont aux fonctions comme les rationnels sont aux réels : ce sont elles qu'on étudie d'abord, et qu'on étudie principalement dans le secondaire, mais il en existe plein d'autres, et c'est finalement assez trompeur, cette insistance sur les fonctions usuelles dans le secondaire. Cela me fait penser aux suites arithmétiques et géométriques : beaucoup d'élèves croient qu'il n'en existe pas d'autres (parce que c'est celles qu'on voit en tout premier quand on étudie les suites en 1ère, et ils ont du mal à le comprendre tout seuls par la suite si personne ne leur en fait la remarque) : bref, c'est un autre sujet.

[pascal16]

j'ai remis géogebra 5, tout va bien
un p'tit DL de sinus :

[aviateur]

Salut @Pascal ce qui m'intéresse c'est l'opération que tu as dû faire pour insérer la figure. En général c'est refusé pour moi (histoire de taille)

[pascal16]

j'utilise le site imagilive

[Ben314]

On pourrait fabriquer une fonction . Celle qui serait sur serait la seule fonction constante égale à partout.

Attention à faire la différence entre les fonctions C^infini et les fonctions analytiques (1) : toute fonction analytique est évidement C^infini, mais la réciproque est fausse (pour les fonction de R->R). L'exemple le plus classique est la fonction x->exp(-1/x^2) pour x non nul et 0->0 qui est C^infini sur R, y compris en 0, mais pas analytique car en 0, les dérivées sont toutes nulles donc la série entière est nulle alors que la fonction n'est identiquement nulle sur aucun voisinage de 0.
L'exemple semble anecdotique (on se dit que c'est une fonction "pourrie"), mais en fait la différence entre analytique et C^infini est extrêmement importante vu que la classe des fonctions C^infini n'est pas "rigide", au contraire : si une fonction est C^infini sur ]-oo,0] ainsi que sur [epsilon,+oo[ (y compris en 0 et en epsilon>0) alors tu peut la prolonger sur [0,epsilon] de façon à en faire une fonction C^ifini sur R tout entier.
Ca prouve évidement que, si tu connaît une fonction C^infini uniquement sur un intervalle donné, ça ne te donne absolument aucune information sur ce qui se passe en dehors de cet intervalle. Et c'est le fait de cette "non rigidité" qui fait que qu'une classe extrêmement importante (par exemple pour définir les distributions) de fonction réelle est celle des fonctions de R dans R "C^infini à support compact" c'est à dire nulle en dehors d'un certain intervalle [-M,M]. (des fonctions "analytiques à support compact", il y en a une seule : la fonction nulle....)

(1) C'est à dire développable en série entière en tout point avec un rayon de C.V. non nul et telle que la série entière converge bien vers la fonction de départ et pas vers autre chose.