Droites et arcs de cercles

[Aispor]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice



Sans perte de généralité, je prend une courbe paramétrée par longueur d'arc.

Pour la 1 par exemple j'ai commencé par montrer que la courbe paramétrée régulière est une droite si et seulement si sa courbure est identiquement nulle.

En notant la courbe
Et supposant que le point où toutes les tangentes sintersectent est le point (0,0,0) je trouve que le système:




J'essaie donc grâce à ce système
Soit de montrer que les dérivée de a,b et c sont constantes.
Soit que la courbure est nulle. C'est à dire identiquement nul

Dans les 2 cas je n'y arrive pas
Merci

[aviateur]

Bonjour
Si tu as c b'=b c' alors b (t)=u c(t) où u est constante.... et ainsi de suite... ça donne le résultat directement.

[Aispor]

Enfaite c'est c(t).b'(t)=b(t).c'(t) ils dépensent de t

[aviateur]

ça je l'ai bien compris. C'est comme une equa diff à résoudre.

[Aispor]

Ah merci pour ta réponse =)
mais comment s'appelle ce résultat alors pour que je le trouve ? ^^

[aviateur]

Ah merci pour ta réponse =)
mais comment s'appelle ce résultat alors pour que je le trouve ? ^^

Je ne comprends de quoi tu parles.
Continue tes calculs (i;e calcul b(t ) en fonction de c(t)) (où c(t) en fonction de b(t)...)
pour arriver à montrer que (a(t),b(t),c(t)) reste sur une droite.

[Aispor]

Enfaite je ne comprenais pas comment tu trouvais ce résultat mais finalement oui c'est le résultat direct des ED1 (juste que j'ai pris l'habitude de le voir qu'avec des coefficients constant) du coup j'ai réussi merci =)

Pour le 2. J'ai pris une courbe paramétrée par longueur d'arc. Dont toutes les normales s'intersectent en un point ; disons le point
Alors notant
Un point
appartient à une normale de la courbe (en ) passant par
ssi P vérifie
ssi
ssi

Ensuite je me suis dit qu'en particulier appartient à cette normale donc on a


Puis je ne vois pas trop comment m'en servir ? Peut-être pour montrer que la courbure est constante ? Ca semble assez compliqué vu que déjà dans dérivée la courbure est assez long, alors dans ...
Merci d'avance ?

[aviateur]

Pour le 2. On peut considérer la courbe paramétrée par l'abscisse curviligne s, i.e
P(s)=(x(s),y(s),z(s)) et que la normale passe effectivement par O=(0,0,0)
La normale est proportionnelle à P''(s). L'hypothèse implique que P(s)//P''(s) ou si on préfère
Det(P(s),P'(s),P''(s))=0 . La torsion est donc nulle (voir la torsion) , la courbe est donc plane.
On est ramené à un problème de géométrie plane.
Quitte à changer le système on peut alors supposer que z(s)=0.
On montre alors que la trajectoire est circulaire.

[Aispor]

Ah merci beaucoup ! je n'avais pas de définition de la torsion en fonction du déterminant mais uniquement
Du coup j'ai vu la définition à l'aide de déterminant.
Merci encore !