Diverses problèmes rencontrés en maths spé

[PCTroyes]

Bonsoir, le niveau actuel est celui de début d'année.

Mon bug du jour est sur un DM, j'ai réalisé 6 questions et la 7eme me bloque..

7. Justifier que (Un) est convergente et déterminer sa limite.

(Un)= PRODUIT(de k=1 à n) de [1+(k/n^2)].

On peut dire qu'elle est croissante comme produit de termes positifs >1.
Mais la majoration...

Merci de votre aide !

PS: j'ai modifié tous le sujet pour ne pas en recréer à chaque fois

[Robot]

Diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant .

[PCTroyes]

Diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant .

Oui c'est ce que j'avais commencé à faire; cependant j'ai une question : peut on écrire que (2/3)^n+1=exp(ln((2/3)^n+1)

Car si oui j'ai trouvé la solution... Mais je crois que c'est une horreur mathématique car cela revient à dire que exp(a+b)=exp(a)+exp(b) non ?

[Robot]

Je confirme que c'est une horreur !
Trouver la limite de quand tend vers l'infini te pose vraiment problème ?

[PCTroyes]

Je confirme que c'est une horreur !
Trouver la limite de quand tend vers l'infini te pose vraiment problème ?

Biensûr que non 2/3<1 donc sa limite est 0+ mais c'est de trouver une facon d'étudier la convergence qui me pose problème, car je ne dois calculer la limite qu'après avoir dis que la suite était convergente/divergente

[PCTroyes]

Biensûr que non 2/3<1 donc sa limite est 0+ mais c'est de trouver une facon d'étudier la convergence qui me pose problème, car je ne dois calculer la limite qu'après avoir dis que la suite était convergente/divergente

Non c'est bon en fait je suis bête... Merci beaucoup Robot !

[Robot]

M'enfin ? Si on voit trivialement que la suite a une limite , ça démontre en particulier qu'elle converge, non ?

[Black Jack]

B(n) = (2^n+3^n)/(2^n-3^n) (Pour n >= 1 je présume)

= 3^n.(1 + (2/3)^n)/[-3^n.(1 - (2/3)^n)]
= -(1 + (2/3)^n)/(1 - (2/3)^n)

lim(n--> +oo) [-(1 + (2/3)^n)/(1 - (2/3)^n)] = -1/1 = -1
*****

B(n+1) - B(n) = -(1 + (2/3)^(n+1))/(1 - (2/3)^(n+1)) + (1 + (2/3)^n)/(1 - (2/3)^n)
B(n+1) - B(n) = -[(1 + (2/3)^(n+1)).(1 - (2/3)^n) - (1 + (2/3)^n).(1 - (2/3)^(n+1))]/[(1 - (2/3)^n).(1 - (2/3)^(n+1))]
B(n+1) - B(n) = -[1 + (2/3)^(n+1) - (2/3)^n - (2/3)^(2n+1) - 1 - (2/3)^n + (2/3)^(n+1) + (2/3)^(2n+1)]/[(1 - (2/3)^n).(1 - (2/3)^(n+1))]
B(n+1) - B(n) = -[2.(2/3)^(n+1) - 2.(2/3)^n]/[(1 - (2/3)^n).(1 - (2/3)^(n+1))]
B(n+1) - B(n) = -2.(2/3)^n[(2/3) - 1]/[(1 - (2/3)^n).(1 - (2/3)^(n+1))]
B(n+1) - B(n) = (2/3).(2/3)^n/[(1 - (2/3)^n).(1 - (2/3)^(n+1))]
B(n+1) - B(n) = (2/3)^(n+1)/[(1 - (2/3)^n).(1 - (2/3)^(n+1))]

B(n+1) - B(n) > 0
La suite Bn est croissante... et majorée par -1

...

:zen:

[PCTroyes]

Merci à tous les deux !
Ca me donne deux façons de rédiger, finalement pour les autres je m'en sors mieux avec des petits o et en croissances comparées.

Par exemple :

Cn=[n^3 - nln(n)]/[2n^3 + n(ln(n))^2]
J'ai tout divisé par n^3
j'ai utilisé : ln(x)^a=o(x^b)
où a=alpha, b=beta et o est le petit o quand x tend vers +INF.
Ensuite comme le numérateur et le dénominateur convergent, par quotient, Cn converge et limCn=1/2

C'est good ?

[Robot]

Il vaut mieux préciser b>0 dans ton argument !