Questions diverses sur les Matrices, determinants, comatrices

[Azuriel]

Dans un DM sur les determinants et les comatrices j'ai quelques question qui me pose probleme..

En voici une :

Montrer que pour une infinité de valeurs du complexe z, la matricea M-zIn est inversibles (bien sur M n'est donc pas supposé inversible)

Je n'arrive pas a trouver une matrice tel que (M-zIn)=In..

PS : ce topic pourra etre utilisé pour des questions diverses sur les matrices, déterminants e comatrices.

[Zeitblom]

Remarque que det(M-zIn) est un polynôme en z. Donc....
Le fait que M soit inversible ou non ne change rien à l'affaire

[Azuriel]

Oui mais si det(M-zIn) est le polynome nul, alors det=0 pour tout z et donc M-zIn n'est pas inversible...Ce n'est pas possible que ça soit le poly nul ?

[emdro]

Bonsoir,
je ne vois pas trop comment ce serait le polynôme nul...

Ce polynôme a pour monôme dominant (-1)^n*z^n, non?

[emdro]

A toi Azuriel, de nous préciser ton niveau d'étude, et si tu connais le polynôme caractéristique...

[Azuriel]

Oui autant pour moi, le coefficient est -1^n obetnu en linearisant det(M-zIn) et en prenant a chaque fois les colonnes avec z.

[emdro]

Dans ce cas, ton polynôme est nécéssairement de degré n! Ce serait étonnant qu'il s'annule une infinité de fois...

[Azuriel]

Oui oui, de toute à partir du moment où il y a un coef non nul, le polynome ne peut s'annuler une infinité de fois. Merci en tout cas.